微分積分例

$f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $4 x \ln (x) - 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x \ln (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

共通因数を約分します。

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.6.2

式を書き換えます。

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + 4 \ln (x) - 7$

ステップ 1.4.2.2

$4$ から $7$ を引きます。

$4 \ln (x) - 3$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 \ln (x) - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \ln (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2.3

$4$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{x} + 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{4}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 \ln (x) - 3 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $4 x \ln (x) - 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x \ln (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 4.1.2.2

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 4.1.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 4.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 4.1.2.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 4.1.2.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

共通因数を約分します。

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 4.1.2.6.2

式を書き換えます。

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 4.1.2.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

ステップ 4.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + 4 \ln (x) - 7$

ステップ 4.1.4.2.2

$4$ から $7$ を引きます。

$f' (x) = 4 \ln (x) - 3$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 \ln (x) - 3$ です。

$4 \ln (x) - 3$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 \ln (x) - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 \ln (x) - 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$4 \ln (x) = 3$

ステップ 5.3

$4 \ln (x) = 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4 \ln (x) = 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.3.2.1.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{3}{4}$

ステップ 5.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 5.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = \frac{3}{4}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{3}{4}} = x$

ステップ 5.6

方程式を $x = e^{\frac{3}{4}}$ として書き換えます。

$x = e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 6.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 8

$x = e^{\frac{3}{4}}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4}{e^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 9

$x = e^{\frac{3}{4}}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = e^{\frac{3}{4}}$ は極小値です

ステップ 10

$x = e^{\frac{3}{4}}$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $e^{\frac{3}{4}}$ で置換えます。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) \ln (e^{\frac{3}{4}}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

対数の法則を利用して指数の外に $\frac{3}{4}$ を移動します。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot \ln (e)) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 10.2.1.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot 1) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 10.2.1.3

$\frac{3}{4}$ に $1$ をかけます。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 10.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.4.1

$4$ を $4 e^{\frac{3}{4}}$ で因数分解します。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 10.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 10.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = e^{\frac{3}{4}} \cdot 3 - 7 e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 10.2.1.5

$3$ を $e^{\frac{3}{4}}$ の左に移動させます。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 3 e^{\frac{3}{4}} - 7 e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 10.2.2

$3 e^{\frac{3}{4}}$ から $7 e^{\frac{3}{4}}$ を引きます。

$f (e^{\frac{3}{4}}) = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $- 4 e^{\frac{3}{4}}$ です。

$y = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

ステップ 11

$f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$ の極値です。

$(e^{\frac{3}{4}}, - 4 e^{\frac{3}{4}})$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例