微分積分例

$f (x) = x^{4} \ln (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x^{4}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.3.2

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.3.2.2.5

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

ステップ 1.3.4

項を並べ替えます。

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3} \ln (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

ステップ 2.2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.2.5

$x^{3}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.2.6

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.2.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.2.6.2.3

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.2.6.2.4

式を書き換えます。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.2.6.2.5

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 4 (\ln (x) (3 x^{2}))$

ステップ 2.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 12 (\ln (x) (x^{2}))$

ステップ 2.3.2.2

$3 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 \ln (x) x^{2}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$x^{4}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.3.2

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.3.2.2.5

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

ステップ 4.1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ です。

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $x^{3}$ を引きます。

$4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$

ステップ 5.3

$4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ の各項を $4 x^{3}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ の各項を $4 x^{3}$ で割ります。

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

ステップ 5.3.2.2

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

ステップ 5.3.2.2.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

ステップ 5.3.3.1.2

式を書き換えます。

$\ln (x) = \frac{- 1}{4}$

ステップ 5.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (x) = - \frac{1}{4}$

ステップ 5.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{4}}$

ステップ 5.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = - \frac{1}{4}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{1}{4}} = x$

ステップ 5.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

方程式を $x = e^{- \frac{1}{4}}$ として書き換えます。

$x = e^{- \frac{1}{4}}$

ステップ 5.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 6.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 8

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$7 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

積の法則を $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ に当てはめます。

$7 \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$7 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.3

${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.3.2.3

式を書き換えます。

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.4

$7$ と $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.5

積の法則を $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ に当てはめます。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.7

${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.7.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.7.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.8

$12$ と $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 9.1.9

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{\frac{1}{4}}$ を分子に移動させます。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (e^{- \frac{1}{4}})$

ステップ 9.1.10

$- \frac{1}{4}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- \frac{1}{4}})$ を展開します。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4} \ln (e))$

ステップ 9.1.11

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)$

ステップ 9.1.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4})$

ステップ 9.1.13

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.13.1

$- \frac{1}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

ステップ 9.1.13.2

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (3)}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

ステップ 9.1.13.3

共通因数を約分します。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 \cdot 3}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

ステップ 9.1.13.4

式を書き換えます。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

ステップ 9.1.14

$\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot - 1}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.1.15

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.1.16

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 - 3}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.2.2

$7$ から $3$ を引きます。

$\frac{4}{e^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{4} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1^{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 11.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 11.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

${(e^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 11.2.2.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 11.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 11.2.2.2

簡約します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 11.2.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{\frac{1}{4}}$ を分子に移動させます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{4}})$

ステップ 11.2.4

$- \frac{1}{4}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- \frac{1}{4}})$ を展開します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

ステップ 11.2.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4} \cdot 1)$

ステップ 11.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4})$

ステップ 11.2.7

$\frac{1}{e}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = - \frac{1}{e \cdot 4}$

ステップ 11.2.8

$4$ を $e$ の左に移動させます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = - \frac{1}{4 e}$

ステップ 11.2.9

最終的な答えは $- \frac{1}{4 e}$ です。

$y = - \frac{1}{4 e}$

ステップ 12

$f (x) = x^{4} \ln (x)$ の極値です。

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, - \frac{1}{4 e})$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例