微分積分例

$f (x) = x^{4} {(x - 24)}^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(x - 24)}^{2}$ を $(x - 24) (x - 24)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 24) (x - 24))]$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 24) (x - 24)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 24) - 24 (x - 24))]$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 (x - 24))]$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

ステップ 1.3.1.2

$- 24$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 \cdot x - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

ステップ 1.3.1.3

$- 24$ に $- 24$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x - 24 x + 576)]$

ステップ 1.3.2

$- 24 x$ から $24 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 48 x + 576)]$

ステップ 1.4

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{2} - 48 x + 576$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 48 x + 576] + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

総和則では、 $x^{2} - 48 x + 576$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]$ です。

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.3

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{4} (2 x - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (2 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.5

$- 48$ に $1$ をかけます。

$x^{4} (2 x - 48 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.6

$576$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $576$ の微分係数は $0$ です。

$x^{4} (2 x - 48 + 0) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.7

$2 x - 48$ と $0$ をたし算します。

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.8

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) (4 x^{3})$

ステップ 1.5.9

$4$ を $x^{2} - 48 x + 576$ の左に移動させます。

$x^{4} (2 x - 48) + 4 \cdot (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

分配則を当てはめます。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + (4 x^{2} + 4 (- 48 x) + 4 \cdot 576) x^{3}$

ステップ 1.6.3

分配則を当てはめます。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.2

$2$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.3

$- 48$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$2 x^{5} - 48 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.4.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.5

$- 48$ に $4$ をかけます。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.6

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.6.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x) + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.6.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{3 + 1} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.6.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.7

$4$ に $576$ をかけます。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

ステップ 1.6.4.8

$2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$6 x^{5} - 48 x^{4} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

ステップ 1.6.4.9

$- 48 x^{4}$ から $192 x^{4}$ を引きます。

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2304 x^{3}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{5}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

ステップ 2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

ステップ 2.2.3

$5$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 240 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 240$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 240 x^{4}$ の微分係数は $- 240 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 240 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

ステップ 2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 240 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

ステップ 2.3.3

$4$ に $- 240$ をかけます。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [2304 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2304$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2304 x^{3}$ の微分係数は $2304 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 2304 \frac{d}{d x} (x^{3})$

ステップ 2.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 2304 (3 x^{2})$

ステップ 2.4.3

$3$ に $2304$ をかけます。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 6912 x^{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

${(x - 24)}^{2}$ を $(x - 24) (x - 24)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 24) (x - 24))]$

ステップ 4.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 24) (x - 24)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 24) - 24 (x - 24))]$

ステップ 4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 (x - 24))]$

ステップ 4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

ステップ 4.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

ステップ 4.1.3.1.2

$- 24$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 \cdot x - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

ステップ 4.1.3.1.3

$- 24$ に $- 24$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x - 24 x + 576)]$

ステップ 4.1.3.2

$- 24 x$ から $24 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 48 x + 576)]$

ステップ 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 48 x + 576] + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

総和則では、 $x^{2} - 48 x + 576$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]$ です。

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.3

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{4} (2 x - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (2 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.5

$- 48$ に $1$ をかけます。

$x^{4} (2 x - 48 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.6

$576$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $576$ の微分係数は $0$ です。

$x^{4} (2 x - 48 + 0) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.7

$2 x - 48$ と $0$ をたし算します。

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.8

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) (4 x^{3})$

ステップ 4.1.5.9

$4$ を $x^{2} - 48 x + 576$ の左に移動させます。

$x^{4} (2 x - 48) + 4 \cdot (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

ステップ 4.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

分配則を当てはめます。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

ステップ 4.1.6.2

分配則を当てはめます。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + (4 x^{2} + 4 (- 48 x) + 4 \cdot 576) x^{3}$

ステップ 4.1.6.3

分配則を当てはめます。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.2

$2$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.3

$- 48$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$2 x^{5} - 48 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.4.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.5

$- 48$ に $4$ をかけます。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.6

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.6.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x) + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.6.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{3 + 1} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.6.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 4 \cdot 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.7

$4$ に $576$ をかけます。

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.8

$2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$6 x^{5} - 48 x^{4} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.9

$- 48 x^{4}$ から $192 x^{4}$ を引きます。

$f' (x) = 6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ です。

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$6 x^{3}$ を $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$6 x^{3}$ を $6 x^{5}$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2}) - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

ステップ 5.2.1.2

$6 x^{3}$ を $- 240 x^{4}$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x) + 2304 x^{3} = 0$

ステップ 5.2.1.3

$6 x^{3}$ を $2304 x^{3}$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x) + 6 x^{3} (384) = 0$

ステップ 5.2.1.4

$6 x^{3}$ を $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x)$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2} - 40 x) + 6 x^{3} (384) = 0$

ステップ 5.2.1.5

$6 x^{3}$ を $6 x^{3} (x^{2} - 40 x) + 6 x^{3} (384)$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2} - 40 x + 384) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 40 x + 384$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $384$ で、その和が $- 40$ です。

$- 24, - 16$

ステップ 5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 x^{3} ((x - 24) (x - 16)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 x^{3} (x - 24) (x - 16) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$x - 24 = 0$

$x - 16 = 0$

ステップ 5.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 5.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 24$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 24$ が $0$ に等しいとします。

$x - 24 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $24$ を足します。

$x = 24$

ステップ 5.6

$x - 16$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x - 16$ が $0$ に等しいとします。

$x - 16 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$x = 16$

ステップ 5.7

最終解は $6 x^{3} (x - 24) (x - 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 24, 16$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 24, 16$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$30 {(0)}^{4} - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$30 \cdot 0 - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.2

$30$ に $0$ をかけます。

$0 - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 960 \cdot 0 + 6912 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.4

$- 960$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 6912 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + 6912 \cdot 0$

ステップ 9.1.6

$6912$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 9.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 16) \cup (16, 24) \cup (24, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 2$ を $5$ 乗します。

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.2

$6$ に $- 32$ をかけます。

$f' (- 2) = - 192 - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f' (- 2) = - 192 - 240 \cdot 16 + 2304 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.4

$- 240$ に $16$ をかけます。

$f' (- 2) = - 192 - 3840 + 2304 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.5

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = - 192 - 3840 + 2304 \cdot - 8$

ステップ 10.2.2.1.6

$2304$ に $- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = - 192 - 3840 - 18432$

ステップ 10.2.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$- 192$ から $3840$ を引きます。

$f' (- 2) = - 4032 - 18432$

ステップ 10.2.2.2.2

$- 4032$ から $18432$ を引きます。

$f' (- 2) = - 22464$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $- 22464$ です。

$- 22464$

ステップ 10.3

一次導関数 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ の区間 $(0, 16)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 6 {(2)}^{5} - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$2$ を $5$ 乗します。

$f' (2) = 6 \cdot 32 - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.2

$6$ に $32$ をかけます。

$f' (2) = 192 - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f' (2) = 192 - 240 \cdot 16 + 2304 {(2)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.4

$- 240$ に $16$ をかけます。

$f' (2) = 192 - 3840 + 2304 {(2)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.5

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (2) = 192 - 3840 + 2304 \cdot 8$

ステップ 10.3.2.1.6

$2304$ に $8$ をかけます。

$f' (2) = 192 - 3840 + 18432$

ステップ 10.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

$192$ から $3840$ を引きます。

$f' (2) = - 3648 + 18432$

ステップ 10.3.2.2.2

$- 3648$ と $18432$ をたし算します。

$f' (2) = 14784$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $14784$ です。

$14784$

ステップ 10.4

一次導関数 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ の区間 $(16, 24)$ から $20$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $20$ で置換えます。

$f' (20) = 6 {(20)}^{5} - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$20$ を $5$ 乗します。

$f' (20) = 6 \cdot 3200000 - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.2

$6$ に $3200000$ をかけます。

$f' (20) = 19200000 - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.3

$20$ を $4$ 乗します。

$f' (20) = 19200000 - 240 \cdot 160000 + 2304 {(20)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.4

$- 240$ に $160000$ をかけます。

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 2304 {(20)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.5

$20$ を $3$ 乗します。

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 2304 \cdot 8000$

ステップ 10.4.2.1.6

$2304$ に $8000$ をかけます。

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 18432000$

ステップ 10.4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.1

$19200000$ から $38400000$ を引きます。

$f' (20) = - 19200000 + 18432000$

ステップ 10.4.2.2.2

$- 19200000$ と $18432000$ をたし算します。

$f' (20) = - 768000$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $- 768000$ です。

$- 768000$

ステップ 10.5

一次導関数 $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ の区間 $(24, \infty)$ から $26$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

式の変数 $x$ を $26$ で置換えます。

$f' (26) = 6 {(26)}^{5} - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

ステップ 10.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1.1

$26$ を $5$ 乗します。

$f' (26) = 6 \cdot 11881376 - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

ステップ 10.5.2.1.2

$6$ に $11881376$ をかけます。

$f' (26) = 71288256 - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

ステップ 10.5.2.1.3

$26$ を $4$ 乗します。

$f' (26) = 71288256 - 240 \cdot 456976 + 2304 {(26)}^{3}$

ステップ 10.5.2.1.4

$- 240$ に $456976$ をかけます。

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 2304 {(26)}^{3}$

ステップ 10.5.2.1.5

$26$ を $3$ 乗します。

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 2304 \cdot 17576$

ステップ 10.5.2.1.6

$2304$ に $17576$ をかけます。

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 40495104$

ステップ 10.5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.1

$71288256$ から $109674240$ を引きます。

$f' (26) = - 38385984 + 40495104$

ステップ 10.5.2.2.2

$- 38385984$ と $40495104$ をたし算します。

$f' (26) = 2109120$

ステップ 10.5.2.3

最終的な答えは $2109120$ です。

$2109120$

ステップ 10.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 0$ は極小値です。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 10.7

$x = 16$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 16$ は極大値です。

$x = 16$ は極大値です

ステップ 10.8

$x = 24$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 24$ は極小値です。

$x = 24$ は極小値です

ステップ 10.9

$f (x) = x^{4} {(x - 24)}^{2}$ の極値です。

$x = 0$ は極小値です

$x = 16$ は極大値です

$x = 24$ は極小値です

$x = 0$ は極小値です

$x = 16$ は極大値です

$x = 24$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例