微分積分例

$f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(x - 12)}^{2}$ を $(x - 12) (x - 12)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 12) (x - 12)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

ステップ 1.3.1.2

$- 12$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

ステップ 1.3.1.3

$- 12$ に $- 12$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

ステップ 1.3.2

$- 12 x$ から $12 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

ステップ 1.4

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{2} - 24 x + 144$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

総和則では、 $x^{2} - 24 x + 144$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ です。

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.3

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.5

$- 24$ に $1$ をかけます。

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.6

$144$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $144$ の微分係数は $0$ です。

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.7

$2 x - 24$ と $0$ をたし算します。

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.5.8

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

ステップ 1.5.9

$4$ を $x^{2} - 24 x + 144$ の左に移動させます。

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

分配則を当てはめます。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

ステップ 1.6.3

分配則を当てはめます。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.2

$2$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.3

$- 24$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.4.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.5

$- 24$ に $4$ をかけます。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.6

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.6.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.6.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.6.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 1.6.4.7

$4$ に $144$ をかけます。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.8

$2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

ステップ 1.6.4.9

$- 24 x^{4}$ から $96 x^{4}$ を引きます。

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{5}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

ステップ 2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

ステップ 2.2.3

$5$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 120 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 120$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 120 x^{4}$ の微分係数は $- 120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

ステップ 2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

ステップ 2.3.3

$4$ に $- 120$ をかけます。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$576$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $576 x^{3}$ の微分係数は $576 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 \frac{d}{d x} (x^{3})$

ステップ 2.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 (3 x^{2})$

ステップ 2.4.3

$3$ に $576$ をかけます。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 1728 x^{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

${(x - 12)}^{2}$ を $(x - 12) (x - 12)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

ステップ 4.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 12) (x - 12)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

ステップ 4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

ステップ 4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

ステップ 4.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

ステップ 4.1.3.1.2

$- 12$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

ステップ 4.1.3.1.3

$- 12$ に $- 12$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

ステップ 4.1.3.2

$- 12 x$ から $12 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

ステップ 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

総和則では、 $x^{2} - 24 x + 144$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ です。

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.3

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.5

$- 24$ に $1$ をかけます。

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.6

$144$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $144$ の微分係数は $0$ です。

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.7

$2 x - 24$ と $0$ をたし算します。

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 4.1.5.8

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

ステップ 4.1.5.9

$4$ を $x^{2} - 24 x + 144$ の左に移動させます。

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

ステップ 4.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

分配則を当てはめます。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

ステップ 4.1.6.2

分配則を当てはめます。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

ステップ 4.1.6.3

分配則を当てはめます。

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.2

$2$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.3

$- 24$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.4.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.5

$- 24$ に $4$ をかけます。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.6

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.6.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.6.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.6.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.7

$4$ に $144$ をかけます。

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.8

$2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

ステップ 4.1.6.4.9

$- 24 x^{4}$ から $96 x^{4}$ を引きます。

$f' (x) = 6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ です。

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$6 x^{3}$ を $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$6 x^{3}$ を $6 x^{5}$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2}) - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

ステップ 5.2.1.2

$6 x^{3}$ を $- 120 x^{4}$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 576 x^{3} = 0$

ステップ 5.2.1.3

$6 x^{3}$ を $576 x^{3}$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

ステップ 5.2.1.4

$6 x^{3}$ を $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x)$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

ステップ 5.2.1.5

$6 x^{3}$ を $6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96)$ で因数分解します。

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x + 96) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

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ステップ 5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 20 x + 96$ を因数分解します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $96$ で、その和が $- 20$ です。

$- 12, - 8$

ステップ 5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 x^{3} ((x - 12) (x - 8)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$x - 12 = 0$

$x - 8 = 0$

ステップ 5.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 5.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 12$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$x - 12$ が $0$ に等しいとします。

$x - 12 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$x = 12$

ステップ 5.6

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 5.7

最終解は $6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 12, 8$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 12, 8$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$30 {(0)}^{4} - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$30 \cdot 0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.2

$30$ に $0$ をかけます。

$0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 480 \cdot 0 + 1728 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.4

$- 480$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 1728 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + 1728 \cdot 0$

ステップ 9.1.6

$1728$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 9.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, 12) \cup (12, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 2$ を $5$ 乗します。

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.2

$6$ に $- 32$ をかけます。

$f' (- 2) = - 192 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f' (- 2) = - 192 - 120 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.4

$- 120$ に $16$ をかけます。

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.5

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 \cdot - 8$

ステップ 10.2.2.1.6

$576$ に $- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = - 192 - 1920 - 4608$

ステップ 10.2.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$- 192$ から $1920$ を引きます。

$f' (- 2) = - 2112 - 4608$

ステップ 10.2.2.2.2

$- 2112$ から $4608$ を引きます。

$f' (- 2) = - 6720$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $- 6720$ です。

$- 6720$

ステップ 10.3

一次導関数 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ の区間 $(0, 8)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$4$ を $5$ 乗します。

$f' (4) = 6 \cdot 1024 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.2

$6$ に $1024$ をかけます。

$f' (4) = 6144 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.3

$4$ を $4$ 乗します。

$f' (4) = 6144 - 120 \cdot 256 + 576 {(4)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.4

$- 120$ に $256$ をかけます。

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 {(4)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.5

$4$ を $3$ 乗します。

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 \cdot 64$

ステップ 10.3.2.1.6

$576$ に $64$ をかけます。

$f' (4) = 6144 - 30720 + 36864$

ステップ 10.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

$6144$ から $30720$ を引きます。

$f' (4) = - 24576 + 36864$

ステップ 10.3.2.2.2

$- 24576$ と $36864$ をたし算します。

$f' (4) = 12288$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $12288$ です。

$12288$

ステップ 10.4

一次導関数 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ の区間 $(8, 12)$ から $10$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $10$ で置換えます。

$f' (10) = 6 {(10)}^{5} - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$10$ を $5$ 乗します。

$f' (10) = 6 \cdot 100000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.2

$6$ に $100000$ をかけます。

$f' (10) = 600000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.3

$10$ を $4$ 乗します。

$f' (10) = 600000 - 120 \cdot 10000 + 576 {(10)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.4

$- 120$ に $10000$ をかけます。

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 {(10)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.5

$10$ を $3$ 乗します。

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 \cdot 1000$

ステップ 10.4.2.1.6

$576$ に $1000$ をかけます。

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576000$

ステップ 10.4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.1

$600000$ から $1200000$ を引きます。

$f' (10) = - 600000 + 576000$

ステップ 10.4.2.2.2

$- 600000$ と $576000$ をたし算します。

$f' (10) = - 24000$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $- 24000$ です。

$- 24000$

ステップ 10.5

一次導関数 $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ の区間 $(12, \infty)$ から $14$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.5.1

式の変数 $x$ を $14$ で置換えます。

$f' (14) = 6 {(14)}^{5} - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

ステップ 10.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1.1

$14$ を $5$ 乗します。

$f' (14) = 6 \cdot 537824 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

ステップ 10.5.2.1.2

$6$ に $537824$ をかけます。

$f' (14) = 3226944 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

ステップ 10.5.2.1.3

$14$ を $4$ 乗します。

$f' (14) = 3226944 - 120 \cdot 38416 + 576 {(14)}^{3}$

ステップ 10.5.2.1.4

$- 120$ に $38416$ をかけます。

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 {(14)}^{3}$

ステップ 10.5.2.1.5

$14$ を $3$ 乗します。

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 \cdot 2744$

ステップ 10.5.2.1.6

$576$ に $2744$ をかけます。

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 1580544$

ステップ 10.5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.1

$3226944$ から $4609920$ を引きます。

$f' (14) = - 1382976 + 1580544$

ステップ 10.5.2.2.2

$- 1382976$ と $1580544$ をたし算します。

$f' (14) = 197568$

ステップ 10.5.2.3

最終的な答えは $197568$ です。

$197568$

ステップ 10.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 0$ は極小値です。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 10.7

$x = 8$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 8$ は極大値です。

$x = 8$ は極大値です

ステップ 10.8

$x = 12$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 12$ は極小値です。

$x = 12$ は極小値です

ステップ 10.9

$f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$ の極値です。

$x = 0$ は極小値です

$x = 8$ は極大値です

$x = 12$ は極小値です

$x = 0$ は極小値です

$x = 8$ は極大値です

$x = 12$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例