微分積分例

$f (x) = 1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7}{x}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$0 + 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

ステップ 1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 7 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ に $7$ をかけます。

$0 - 7 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{8}{x^{2}}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 1.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 1.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 1.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 1.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

ステップ 1.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 1.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 1.3.10

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$0 - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 x^{- 3}$

ステップ 1.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$- 7$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$0 + \frac{- 7}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$0 - \frac{7}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.4.3.3

$0$ から $\frac{7}{x^{2}}$ を引きます。

$- \frac{7}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.4.3.4

$16$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{3}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{7}{x^{2}}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 7 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 7 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = - 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.2.10

$- 2$ に $- 7$ をかけます。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{16}{x^{3}}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3}$ とします。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

ステップ 2.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

ステップ 2.3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

ステップ 2.3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

ステップ 2.3.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

ステップ 2.3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

ステップ 2.3.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

ステップ 2.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{2 - 6})$

ステップ 2.3.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 4})$

ステップ 2.3.8

$- 3$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = 14 x^{- 3} - 48 x^{- 4}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 14 (\frac{1}{x^{3}}) - 48 x^{- 4}$

ステップ 2.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 14 (\frac{1}{x^{3}}) - 48 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 2.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$14$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}} - 48 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 2.4.3.2

$- 48$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 48}{x^{4}}$

ステップ 2.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

ステップ 4.1.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7}{x}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f' (x) = 0 + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 0 + 7 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

ステップ 4.1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 + 7 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ に $7$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{8}{x^{2}}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

ステップ 4.1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 4.1.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

ステップ 4.1.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

ステップ 4.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 4.1.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 4.1.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 4.1.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 4.1.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

ステップ 4.1.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 4.1.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 4.1.3.10

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 x^{- 3}$

ステップ 4.1.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.3.1

$- 7$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = 0 + \frac{- 7}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.1.4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 0 - \frac{7}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.1.4.3.3

$0$ から $\frac{7}{x^{2}}$ を引きます。

$f' (x) = - \frac{7}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 4.1.4.3.4

$16$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = - \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$ です。

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$

ステップ 5.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, x^{3}, 1$

ステップ 5.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

ステップ 5.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 5.2.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 5.2.5

$1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 5.2.6

$x^{2}$ の因数は $x \cdot x$ です。これは $x$ を $2$ 倍したものです。

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ は $2$ 回発生します。

ステップ 5.2.7

$x^{3}$ の因数は $x \cdot x \cdot x$ です。これは $x$ を $3$ 倍したものです。

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ は $3$ 回発生します。

ステップ 5.2.8

$x^{2}, x^{3}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x \cdot x \cdot x$

ステップ 5.2.9

$x \cdot x \cdot x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.9.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} \cdot x$

ステップ 5.2.9.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.9.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.9.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} \cdot x^{1}$

ステップ 5.2.9.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 1}$

ステップ 5.2.9.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{3}$

ステップ 5.3

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$ の各項に $x^{3}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$ の各項に $x^{3}$ を掛けます。

$- \frac{7}{x^{2}} x^{3} + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.1

$- \frac{7}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{3} + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 5.3.2.1.1.2

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 5.3.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 5.3.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- 7 x + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$- 7 x + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$- 7 x + 16 = 0 x^{3}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$0$ に $x^{3}$ をかけます。

$- 7 x + 16 = 0$

ステップ 5.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$- 7 x = - 16$

ステップ 5.4.2

$- 7 x = - 16$ の各項を $- 7$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$- 7 x = - 16$ の各項を $- 7$ で割ります。

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

ステップ 5.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$- 7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

ステップ 5.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 16}{- 7}$

ステップ 5.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{16}{7}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{7}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6.3

$\frac{16}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 6.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.4.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 6.4.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{16}{7}$

ステップ 8

$x = \frac{16}{7}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{14}{{(\frac{16}{7})}^{3}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

積の法則を $\frac{16}{7}$ に当てはめます。

$\frac{14}{\frac{16^{3}}{7^{3}}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

ステップ 9.1.1.2

$16$ を $3$ 乗します。

$\frac{14}{\frac{4096}{7^{3}}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

ステップ 9.1.1.3

$7$ を $3$ 乗します。

$\frac{14}{\frac{4096}{343}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

ステップ 9.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$14 (\frac{343}{4096}) - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

ステップ 9.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$2$ を $14$ で因数分解します。

$2 (7) \frac{343}{4096} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

ステップ 9.1.3.2

$2$ を $4096$ で因数分解します。

$2 \cdot 7 \frac{343}{2 \cdot 2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

ステップ 9.1.3.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 7 \frac{343}{2 \cdot 2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

ステップ 9.1.3.4

式を書き換えます。

$7 (\frac{343}{2048}) - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

ステップ 9.1.4

$7$ と $\frac{343}{2048}$ をまとめます。

$\frac{7 \cdot 343}{2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

ステップ 9.1.5

$7$ に $343$ をかけます。

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

ステップ 9.1.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.6.1

積の法則を $\frac{16}{7}$ に当てはめます。

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{\frac{16^{4}}{7^{4}}}$

ステップ 9.1.6.2

$16$ を $4$ 乗します。

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{\frac{65536}{7^{4}}}$

ステップ 9.1.6.3

$7$ を $4$ 乗します。

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{\frac{65536}{2401}}$

ステップ 9.1.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2401}{2048} - (48 (\frac{2401}{65536}))$

ステップ 9.1.8

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.8.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$\frac{2401}{2048} - (16 (3) \frac{2401}{65536})$

ステップ 9.1.8.2

$16$ を $65536$ で因数分解します。

$\frac{2401}{2048} - (16 \cdot 3 \frac{2401}{16 \cdot 4096})$

ステップ 9.1.8.3

共通因数を約分します。

$\frac{2401}{2048} - (16 \cdot 3 \frac{2401}{16 \cdot 4096})$

ステップ 9.1.8.4

式を書き換えます。

$\frac{2401}{2048} - (3 (\frac{2401}{4096}))$

ステップ 9.1.9

$3$ と $\frac{2401}{4096}$ をまとめます。

$\frac{2401}{2048} - \frac{3 \cdot 2401}{4096}$

ステップ 9.1.10

$3$ に $2401$ をかけます。

$\frac{2401}{2048} - \frac{7203}{4096}$

ステップ 9.2

$\frac{2401}{2048}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2401}{2048} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7203}{4096}$

ステップ 9.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4096$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$\frac{2401}{2048}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2401 \cdot 2}{2048 \cdot 2} - \frac{7203}{4096}$

ステップ 9.3.2

$2048$ に $2$ をかけます。

$\frac{2401 \cdot 2}{4096} - \frac{7203}{4096}$

ステップ 9.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2401 \cdot 2 - 7203}{4096}$

ステップ 9.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$2401$ に $2$ をかけます。

$\frac{4802 - 7203}{4096}$

ステップ 9.5.2

$4802$ から $7203$ を引きます。

$\frac{- 2401}{4096}$

ステップ 9.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2401}{4096}$

ステップ 10

$x = \frac{16}{7}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{16}{7}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \frac{16}{7}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{16}{7}$ で置換えます。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{7}{\frac{16}{7}} - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + 7 (\frac{7}{16}) - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

ステップ 11.2.1.2

$7 (\frac{7}{16})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.2.1

$7$ と $\frac{7}{16}$ をまとめます。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{7 \cdot 7}{16} - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

ステップ 11.2.1.2.2

$7$ に $7$ をかけます。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

ステップ 11.2.1.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.3.1

積の法則を $\frac{16}{7}$ に当てはめます。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{\frac{16^{2}}{7^{2}}}$

ステップ 11.2.1.3.2

$16$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{\frac{256}{7^{2}}}$

ステップ 11.2.1.3.3

$7$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{\frac{256}{49}}$

ステップ 11.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - (8 (\frac{49}{256}))$

ステップ 11.2.1.5

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.5.1

$8$ を $256$ で因数分解します。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - (8 (\frac{49}{8 (32)}))$

ステップ 11.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - (8 (\frac{49}{8 \cdot 32}))$

ステップ 11.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

ステップ 11.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 11.2.2.1

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{1}{1} + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

ステップ 11.2.2.2

$\frac{1}{1}$ に $\frac{32}{32}$ をかけます。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{1}{1} \cdot \frac{32}{32} + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

ステップ 11.2.2.3

$\frac{1}{1}$ に $\frac{32}{32}$ をかけます。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

ステップ 11.2.2.4

$\frac{49}{16}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49}{16} \cdot \frac{2}{2} - \frac{49}{32}$

ステップ 11.2.2.5

$\frac{49}{16}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49 \cdot 2}{16 \cdot 2} - \frac{49}{32}$

ステップ 11.2.2.6

$16 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 16} - \frac{49}{32}$

ステップ 11.2.2.7

$2$ に $16$ をかけます。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49 \cdot 2}{32} - \frac{49}{32}$

ステップ 11.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32 + 49 \cdot 2 - 49}{32}$

ステップ 11.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

$49$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32 + 98 - 49}{32}$

ステップ 11.2.4.2

$32$ と $98$ をたし算します。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{130 - 49}{32}$

ステップ 11.2.4.3

$130$ から $49$ を引きます。

$f (\frac{16}{7}) = \frac{81}{32}$

ステップ 11.2.5

最終的な答えは $\frac{81}{32}$ です。

$y = \frac{81}{32}$

ステップ 12

$f (x) = 1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ の極値です。

$(\frac{16}{7}, \frac{81}{32})$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例