微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ を $x - 2$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

$x$ を $x^{2} - 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x - 4 x}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ です。

$\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x (x - 4) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.3.3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.3.4

最終解は $x (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{2}}{x - 2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 2}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 - 2}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{- 2}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を $- 2$ で割ります。

$0$

ステップ 4.2

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(4)}^{2}}{(4) - 2}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{16}{4 - 2}$

ステップ 4.2.2.2

$4$ から $2$ を引きます。

$\frac{16}{2}$

ステップ 4.2.2.3

$16$ を $2$ で割ります。

$8$

ステップ 4.3

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(2)}^{2}}{(2) - 2}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(2)}^{2}}{0}$

ステップ 4.3.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (4, 8)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例