微分積分例

$f (x) = x^{2} + 13 x + 40$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{2} + 13 x + 40$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [40]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [13 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$13$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $13 x$ の微分係数は $13 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 13 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 13 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 1.2.3

$13$ に $1$ をかけます。

$2 x + 13 + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$40$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $40$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 13 + 0$

ステップ 1.3.2

$2 x + 13$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 13$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 x + 13$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [13]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (13)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (13)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (13)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (13)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$13$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $13$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 + 0$

ステップ 2.3.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 x + 13 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{2} + 13 x + 40$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [40]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [13 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$13$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $13 x$ の微分係数は $13 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 13 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 13 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 4.1.2.3

$13$ に $1$ をかけます。

$2 x + 13 + \frac{d}{d x} [40]$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$40$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $40$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 13 + 0$

ステップ 4.1.3.2

$2 x + 13$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x + 13$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x + 13$ です。

$2 x + 13$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x + 13 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x + 13 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $13$ を引きます。

$2 x = - 13$

ステップ 5.3

$2 x = - 13$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2 x = - 13$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 13}{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 13}{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 13}{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{13}{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{13}{2}$

ステップ 8

$x = - \frac{13}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2$

ステップ 9

$x = - \frac{13}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{13}{2}$ は極小値です

ステップ 10

$x = - \frac{13}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $- \frac{13}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{13}{2}) = {(- \frac{13}{2})}^{2} + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 10.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{13}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{13}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{13}{2})}^{2} + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

ステップ 10.2.1.1.2

積の法則を $\frac{13}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{13}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{13^{2}}{2^{2}}) + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

ステップ 10.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{13}{2}) = 1 (\frac{13^{2}}{2^{2}}) + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

ステップ 10.2.1.3

$\frac{13^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{13^{2}}{2^{2}} + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

ステップ 10.2.1.4

$13$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{2^{2}} + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

ステップ 10.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} + 13 (- \frac{13}{2}) + 40$

ステップ 10.2.1.6

$13 (- \frac{13}{2})$ を掛けます。

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ステップ 10.2.1.6.1

$- 1$ に $13$ をかけます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - 13 (\frac{13}{2}) + 40$

ステップ 10.2.1.6.2

$- 13$ と $\frac{13}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} + \frac{- 13 \cdot 13}{2} + 40$

ステップ 10.2.1.6.3

$- 13$ に $13$ をかけます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} + \frac{- 169}{2} + 40$

ステップ 10.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - \frac{169}{2} + 40$

ステップ 10.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 10.2.2.1

$\frac{169}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - (\frac{169}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 40$

ステップ 10.2.2.2

$\frac{169}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - \frac{169 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 40$

ステップ 10.2.2.3

$40$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - \frac{169 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{40}{1}$

ステップ 10.2.2.4

$\frac{40}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - \frac{169 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{40}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 10.2.2.5

$\frac{40}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - \frac{169 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{40 \cdot 4}{4}$

ステップ 10.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} - \frac{169 \cdot 2}{4} + \frac{40 \cdot 4}{4}$

ステップ 10.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169 - 169 \cdot 2 + 40 \cdot 4}{4}$

ステップ 10.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.4.1

$- 169$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169 - 338 + 40 \cdot 4}{4}$

ステップ 10.2.4.2

$40$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{169 - 338 + 160}{4}$

ステップ 10.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.5.1

$169$ から $338$ を引きます。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{- 169 + 160}{4}$

ステップ 10.2.5.2

$- 169$ と $160$ をたし算します。

$f (- \frac{13}{2}) = \frac{- 9}{4}$

ステップ 10.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{13}{2}) = - \frac{9}{4}$

ステップ 10.2.6

最終的な答えは $- \frac{9}{4}$ です。

$y = - \frac{9}{4}$

ステップ 11

$f (x) = x^{2} + 13 x + 40$ の極値です。

$(- \frac{13}{2}, - \frac{9}{4})$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例