微分積分例

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.3.2

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

ステップ 1.4.2

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ の因数を並べ替えます。

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{3 x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} e^{3 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 2.2.2

$f'' (x) = 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 2.2.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 2.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 2.2.7

$3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 2.2.8

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x e^{3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x e^{3 x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ です。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{3 x})$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1)$

ステップ 2.3.7

$3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1)$

ステップ 2.3.8

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

ステップ 2.3.9

$e^{3 x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

ステップ 2.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 9 (x^{2} (e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

ステップ 2.4.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 (e^{3 x} (x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

ステップ 2.4.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 e^{3 x} x + 6 (x (e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

ステップ 2.4.3.4

$6 e^{3 x} x$ と $6 x e^{3 x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.4.1

$e^{3 x}$ を移動させます。

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 x e^{3 x} + 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

ステップ 2.4.3.4.2

$6 x e^{3 x}$ と $6 x e^{3 x}$ をたし算します。

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 12 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

ステップ 2.4.4

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} x^{2} + 12 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$

ステップ 2.4.5

$9 e^{3 x} x^{2} + 12 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 12 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.3.2

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

ステップ 4.1.4

簡約します。

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ステップ 4.1.4.1

項を並べ替えます。

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

ステップ 4.1.4.2

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ です。

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

ステップ 5.2

$x e^{3 x}$ を $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x e^{3 x}$ を $3 x^{2} e^{3 x}$ で因数分解します。

$x e^{3 x} (3 x) + 2 x e^{3 x} = 0$

ステップ 5.2.2

$x e^{3 x}$ を $2 x e^{3 x}$ で因数分解します。

$x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2) = 0$

ステップ 5.2.3

$x e^{3 x}$ を $x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2)$ で因数分解します。

$x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$e^{3 x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$e^{3 x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{3 x} = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $e^{3 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

ステップ 5.5.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.5.2.3

$e^{3 x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.6

$3 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.6.1

$3 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 2 = 0$

ステップ 5.6.2

$x$ について $3 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.6.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 5.6.2.2

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.2.2.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 5.6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 5.6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 5.6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 5.7

最終解は $x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{2}{3}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - \frac{2}{3}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$9 {(0)}^{2} e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$9 \cdot 0 e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

ステップ 9.1.2

$9$ に $0$ をかけます。

$0 e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

ステップ 9.1.3

$3$ に $0$ をかけます。

$0 e^{0} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

ステップ 9.1.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1 + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

ステップ 9.1.5

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

ステップ 9.1.6

$12$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

ステップ 9.1.7

$3$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{3 (0)}$

ステップ 9.1.8

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{3 (0)}$

ステップ 9.1.9

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 2 e^{3 (0)}$

ステップ 9.1.10

$3$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 2 e^{0}$

ステップ 9.1.11

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

ステップ 9.1.12

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 2$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 2$

ステップ 9.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{2} e^{3 (0)}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 e^{3 (0)}$

ステップ 11.2.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 e^{0}$

ステップ 11.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f (0) = 0 \cdot 1$

ステップ 11.2.4

$0$ に $1$ をかけます。

$f (0) = 0$

ステップ 11.2.5

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$x = - \frac{2}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$9 {(- \frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.1.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$9 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$9 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.3

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$9 \frac{2^{2}}{3^{2}} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$9 \frac{4}{3^{2}} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$9 (\frac{4}{9}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.6

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.6.1

共通因数を約分します。

$9 (\frac{4}{9}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.6.2

式を書き換えます。

$4 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.7

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.7.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.7.2

共通因数を約分します。

$4 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.7.3

式を書き換えます。

$4 e^{- 2} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 \frac{1}{e^{2}} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.9

$4$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{e^{2}} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.10

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.10.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{4}{e^{2}} + 12 (\frac{- 2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.10.2

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4}{e^{2}} + 3 (4) \frac{- 2}{3} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.10.3

共通因数を約分します。

$\frac{4}{e^{2}} + 3 \cdot 4 \frac{- 2}{3} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.10.4

式を書き換えます。

$\frac{4}{e^{2}} + 4 \cdot - 2 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.11

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.12

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.12.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.12.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.14

$- 8$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.15

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 13.1.16

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.16.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

ステップ 13.1.16.2

共通因数を約分します。

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

ステップ 13.1.16.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

ステップ 13.1.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

ステップ 13.1.18

$2$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

ステップ 13.2

分数をまとめます。

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ステップ 13.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

ステップ 13.2.2

式を簡約します。

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ステップ 13.2.2.1

$4$ から $8$ を引きます。

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

ステップ 13.2.2.2

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2}{e^{2}}$

ステップ 13.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{e^{2}}$

ステップ 14

$x = - \frac{2}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{2}{3}$ は極大値です

ステップ 15

$x = - \frac{2}{3}$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- \frac{2}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 15.2.1.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 15.2.1.2

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 15.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = 1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 15.2.2.2

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{2^{2}}{3^{2}} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 15.2.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3^{2}} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 15.2.2.4

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

ステップ 15.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.2.3.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

ステップ 15.2.3.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

ステップ 15.2.3.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{- 2}$

ステップ 15.2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

ステップ 15.2.5

まとめる。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 \cdot 1}{9 e^{2}}$

ステップ 15.2.6

$4$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9 e^{2}}$

ステップ 15.2.7

最終的な答えは $\frac{4}{9 e^{2}}$ です。

$y = \frac{4}{9 e^{2}}$

ステップ 16

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極小値です

$(- \frac{2}{3}, \frac{4}{9 e^{2}})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例