微分積分例

$f (x) = x^{10} e^{x} - 3$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $x^{10} e^{x} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = x^{10}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{10} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{10} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.2.3

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 0$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9})$ と $0$ をたし算します。

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9})$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{10} + 10 e^{x} x^{9}$

ステップ 1.4.3

$e^{x} x^{10} + 10 e^{x} x^{9}$ の因数を並べ替えます。

$x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x^{9} e^{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{10} e^{x}) + \frac{d}{d x} (10 x^{9} e^{x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f'' (x) = x^{10} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (10 x^{9} e^{x})$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (10 x^{9} e^{x})$

ステップ 2.2.3

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} (10 x^{9} e^{x})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [10 x^{9} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x^{9} e^{x}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x^{9} e^{x}]$ です。

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 10 \frac{d}{d x} (x^{9} e^{x})$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{9}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 10 (x^{9} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{9}))$

ステップ 2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 10 (x^{9} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{9}))$

ステップ 2.3.4

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 10 (x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}))$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 10 (x^{9} e^{x}) + 10 (e^{x} (9 x^{8}))$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$9$ に $10$ をかけます。

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 10 x^{9} e^{x} + 90 (e^{x} (x^{8}))$

ステップ 2.4.2.2

$e^{x} (10 x^{9})$ と $10 x^{9} e^{x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x} + 10 x^{9} e^{x} + 90 e^{x} x^{8}$

ステップ 2.4.2.2.2

$10 x^{9} e^{x}$ と $10 x^{9} e^{x}$ をたし算します。

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + 20 x^{9} e^{x} + 90 e^{x} x^{8}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{x} x^{10} + 20 e^{x} x^{9} + 90 e^{x} x^{8}$

ステップ 2.4.4

$e^{x} x^{10} + 20 e^{x} x^{9} + 90 e^{x} x^{8}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + 20 x^{9} e^{x} + 90 x^{8} e^{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $x^{10} e^{x} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{10} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$f' (x) = x^{10} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 4.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 4.1.2.3

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 4.1.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 0$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9})$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9})$

ステップ 4.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = e^{x} x^{10} + 10 e^{x} x^{9}$

ステップ 4.1.4.3

$e^{x} x^{10} + 10 e^{x} x^{9}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$ です。

$x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x} = 0$

ステップ 5.2

$x^{9} e^{x}$ を $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x^{9} e^{x}$ を $x^{10} e^{x}$ で因数分解します。

$x^{9} e^{x} (x) + 10 x^{9} e^{x} = 0$

ステップ 5.2.2

$x^{9} e^{x}$ を $10 x^{9} e^{x}$ で因数分解します。

$x^{9} e^{x} (x) + x^{9} e^{x} (10) = 0$

ステップ 5.2.3

$x^{9} e^{x}$ を $x^{9} e^{x} (x) + x^{9} e^{x} (10)$ で因数分解します。

$x^{9} e^{x} (x + 10) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{9} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 10 = 0$

ステップ 5.4

$x^{9}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x^{9}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{9} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{9} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[9]{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\sqrt[9]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{9}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[9]{0^{9}}$

ステップ 5.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5.5

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 5.5.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.5.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.6

$x + 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x + 10$ が $0$ に等しいとします。

$x + 10 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$x = - 10$

ステップ 5.7

最終解は $x^{9} e^{x} (x + 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 10$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 10$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

${(0)}^{10} e^{0} + 20 {(0)}^{9} e^{0} + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 e^{0} + 20 {(0)}^{9} e^{0} + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

ステップ 9.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1 + 20 {(0)}^{9} e^{0} + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

ステップ 9.1.3

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 20 {(0)}^{9} e^{0} + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

ステップ 9.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 20 \cdot 0 e^{0} + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

ステップ 9.1.5

$20$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 e^{0} + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

ステップ 9.1.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 0 \cdot 1 + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

ステップ 9.1.7

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

ステップ 9.1.8

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + 90 \cdot 0 e^{0}$

ステップ 9.1.9

$90$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 e^{0}$

ステップ 9.1.10

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

ステップ 9.1.11

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 9.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$ の区間 $(- \infty, - 10)$ から $- 12$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 12$ で置換えます。

$f' (- 12) = {(- 12)}^{10} e^{- 12} + 10 {(- 12)}^{9} e^{- 12}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 12$ を $10$ 乗します。

$f' (- 12) = 61917364224 e^{- 12} + 10 {(- 12)}^{9} e^{- 12}$

ステップ 10.2.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 12) = 61917364224 (\frac{1}{e^{12}}) + 10 {(- 12)}^{9} e^{- 12}$

ステップ 10.2.2.1.3

$61917364224$ と $\frac{1}{e^{12}}$ をまとめます。

$f' (- 12) = \frac{61917364224}{e^{12}} + 10 {(- 12)}^{9} e^{- 12}$

ステップ 10.2.2.1.4

$- 12$ を $9$ 乗します。

$f' (- 12) = \frac{61917364224}{e^{12}} + 10 \cdot (- 5159780352 e^{- 12})$

ステップ 10.2.2.1.5

$10$ に $- 5159780352$ をかけます。

$f' (- 12) = \frac{61917364224}{e^{12}} - 51597803520 e^{- 12}$

ステップ 10.2.2.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 12) = \frac{61917364224}{e^{12}} - 51597803520 \frac{1}{e^{12}}$

ステップ 10.2.2.1.7

$- 51597803520$ と $\frac{1}{e^{12}}$ をまとめます。

$f' (- 12) = \frac{61917364224}{e^{12}} + \frac{- 51597803520}{e^{12}}$

ステップ 10.2.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 12) = \frac{61917364224}{e^{12}} - \frac{51597803520}{e^{12}}$

ステップ 10.2.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f' (- 12) = \frac{61917364224 - 51597803520}{e^{12}}$

ステップ 10.2.2.2.2

$61917364224$ から $51597803520$ を引きます。

$f' (- 12) = \frac{10319560704}{e^{12}}$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $\frac{10319560704}{e^{12}}$ です。

$\frac{10319560704}{e^{12}}$

ステップ 10.3

一次導関数 $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$ の区間 $(- 10, 0)$ から $- 5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f' (- 5) = {(- 5)}^{10} e^{- 5} + 10 {(- 5)}^{9} e^{- 5}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$- 5$ を $10$ 乗します。

$f' (- 5) = 9765625 e^{- 5} + 10 {(- 5)}^{9} e^{- 5}$

ステップ 10.3.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 5) = 9765625 (\frac{1}{e^{5}}) + 10 {(- 5)}^{9} e^{- 5}$

ステップ 10.3.2.1.3

$9765625$ と $\frac{1}{e^{5}}$ をまとめます。

$f' (- 5) = \frac{9765625}{e^{5}} + 10 {(- 5)}^{9} e^{- 5}$

ステップ 10.3.2.1.4

$- 5$ を $9$ 乗します。

$f' (- 5) = \frac{9765625}{e^{5}} + 10 \cdot (- 1953125 e^{- 5})$

ステップ 10.3.2.1.5

$10$ に $- 1953125$ をかけます。

$f' (- 5) = \frac{9765625}{e^{5}} - 19531250 e^{- 5}$

ステップ 10.3.2.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 5) = \frac{9765625}{e^{5}} - 19531250 \frac{1}{e^{5}}$

ステップ 10.3.2.1.7

$- 19531250$ と $\frac{1}{e^{5}}$ をまとめます。

$f' (- 5) = \frac{9765625}{e^{5}} + \frac{- 19531250}{e^{5}}$

ステップ 10.3.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 5) = \frac{9765625}{e^{5}} - \frac{19531250}{e^{5}}$

ステップ 10.3.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f' (- 5) = \frac{9765625 - 19531250}{e^{5}}$

ステップ 10.3.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.2.1

$9765625$ から $19531250$ を引きます。

$f' (- 5) = \frac{- 9765625}{e^{5}}$

ステップ 10.3.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 5) = - \frac{9765625}{e^{5}}$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $- \frac{9765625}{e^{5}}$ です。

$- \frac{9765625}{e^{5}}$

ステップ 10.4

一次導関数 $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = {(2)}^{10} e^{2} + 10 {(2)}^{9} e^{2}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$2$ を $10$ 乗します。

$f' (2) = 1024 e^{2} + 10 {(2)}^{9} e^{2}$

ステップ 10.4.2.1.2

$2$ を $9$ 乗します。

$f' (2) = 1024 e^{2} + 10 \cdot (512 e^{2})$

ステップ 10.4.2.1.3

$10$ に $512$ をかけます。

$f' (2) = 1024 e^{2} + 5120 e^{2}$

ステップ 10.4.2.2

$1024 e^{2}$ と $5120 e^{2}$ をたし算します。

$f' (2) = 6144 e^{2}$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $6144 e^{2}$ です。

$6144 e^{2}$

ステップ 10.5

$x = - 10$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - 10$ は極大値です。

$x = - 10$ は極大値です

ステップ 10.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 0$ は極小値です。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 10.7

$f (x) = x^{10} e^{x} - 3$ の極値です。

$x = - 10$ は極大値です

$x = 0$ は極小値です

$x = - 10$ は極大値です

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例