微分積分例

$f (x) = x + \frac{96}{x}$ , $[6, 16]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[6, 16]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = x + \frac{96}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{96}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[6, 16]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x + \frac{96}{x} d x)$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x d x + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

ステップ 6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

ステップ 7

$96$ は $x$ に対して定数なので、 $96$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 \int_{6}^{16} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 8

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

代入し簡約します。

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ステップ 9.1.1

$16$ および $6$ で $\frac{1}{2} x^{2}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} ((\frac{1}{2} \cdot 16^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

ステップ 9.1.2

$16$ および $6$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 16^{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3

簡約します。

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ステップ 9.1.3.1

$16$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 256 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $256$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{256}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.3

$256$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.3.1

$2$ を $256$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.3.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{128}{1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.3.2.4

$128$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.4

$6$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 36 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.5

$36$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 36 (\frac{1}{2}) + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.6

$- 36$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 36}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.7

$- 36$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.7.1

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.7.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 18}{1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.7.2.4

$- 18$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 18 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.1.3.8

$128$ から $18$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

ステップ 9.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{| 16 |}{| 6 |}))$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $16$ の間の距離は $16$ です。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{| 6 |}))$

ステップ 9.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $6$ の間の距離は $6$ です。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{6}))$

ステップ 9.3.3

$16$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 (8)}{6}))$

ステップ 9.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

ステップ 9.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

ステップ 9.3.3.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

ステップ 10

$16$ から $6$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

ステップ 11

各項を簡約します。

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ステップ 11.1

対数の中の $96$ を移動させて $96 \ln (\frac{8}{3})$ を簡約します。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln ({(\frac{8}{3})}^{96}))$

ステップ 11.2

積の法則を $\frac{8}{3}$ に当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}}))$

ステップ 12

項を簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 110 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

ステップ 12.2

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.1

$10$ を $110$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (11)) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

ステップ 12.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 11) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

ステップ 12.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = 11 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

ステップ 13

対数の中の $\frac{1}{10}$ を移動させて $\frac{1}{10} \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$ を簡約します。

$A (x) = 11 + \ln ({(\frac{8^{96}}{3^{96}})}^{\frac{1}{10}})$

ステップ 14

各項を簡約します。

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ステップ 14.1

積の法則を $\frac{8^{96}}{3^{96}}$ に当てはめます。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{{(8^{96})}^{\frac{1}{10}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

ステップ 14.2

${(8^{96})}^{\frac{1}{10}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 14.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{96 (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

ステップ 14.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.2.1

$2$ を $96$ で因数分解します。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 (48) (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

ステップ 14.2.2.2

$2$ を $10$ で因数分解します。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

ステップ 14.2.2.3

共通因数を約分します。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

ステップ 14.2.2.4

式を書き換えます。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{48 (\frac{1}{5})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

ステップ 14.2.3

$48$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

ステップ 14.3

${(3^{96})}^{\frac{1}{10}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 14.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{96 (\frac{1}{10})}})$

ステップ 14.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.2.1

$2$ を $96$ で因数分解します。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 (48) (\frac{1}{10})}})$

ステップ 14.3.2.2

$2$ を $10$ で因数分解します。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

ステップ 14.3.2.3

共通因数を約分します。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

ステップ 14.3.2.4

式を書き換えます。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{48 (\frac{1}{5})}})$

ステップ 14.3.3

$48$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{\frac{48}{5}}})$

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例