微分積分例

$f (x) = \frac{15 x^{3} + 35 x^{2} - 100 x}{56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}}$

ステップ 1

$\frac{15 x^{3} + 35 x^{2} - 100 x}{56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$56 u - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0$

ステップ 2.1.2

$2 u$ を $56 u - 2 u^{2} - 4 u^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$2 u$ を $56 u$ で因数分解します。

$2 u (28) - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0$

ステップ 2.1.2.2

$2 u$ を $- 2 u^{2}$ で因数分解します。

$2 u (28) + 2 u (- u) - 4 u^{3} = 0$

ステップ 2.1.2.3

$2 u$ を $- 4 u^{3}$ で因数分解します。

$2 u (28) + 2 u (- u) + 2 u (- 2 u^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.4

$2 u$ を $2 u (28) + 2 u (- u)$ で因数分解します。

$2 u (28 - u) + 2 u (- 2 u^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.5

$2 u$ を $2 u (28 - u) + 2 u (- 2 u^{2})$ で因数分解します。

$2 u (28 - u - 2 u^{2}) = 0$

ステップ 2.1.3

因数分解。

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ステップ 2.1.3.1

群による因数分解。

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ステップ 2.1.3.1.1

項を並べ替えます。

$2 u (- 2 u^{2} - u + 28) = 0$

ステップ 2.1.3.1.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 2 \cdot 28 = - 56$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.3.1.2.1

$- 1$ を $- u$ で因数分解します。

$2 u (- 2 u^{2} - (u) + 28) = 0$

ステップ 2.1.3.1.2.2

$- 1$ を $7$ プラス $- 8$ に書き換える

$2 u (- 2 u^{2} + (7 - 8) u + 28) = 0$

ステップ 2.1.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 u (- 2 u^{2} + 7 u - 8 u + 28) = 0$

ステップ 2.1.3.1.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.3.1.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 u ((- 2 u^{2} + 7 u) - 8 u + 28) = 0$

ステップ 2.1.3.1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 u (u (- 2 u + 7) + 4 (- 2 u + 7)) = 0$

ステップ 2.1.3.1.4

最大公約数 $- 2 u + 7$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 u ((- 2 u + 7) (u + 4)) = 0$

ステップ 2.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$2 u (- 2 u + 7) (u + 4) = 0$

ステップ 2.1.4

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$2 x (- 2 x + 7) (x + 4) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$- 2 x + 7 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

$- 2 x + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$- 2 x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 x + 7 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $- 2 x + 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$- 2 x = - 7$

ステップ 2.4.2.2

$- 2 x = - 7$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$- 2 x = - 7$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 7}{- 2}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{7}{2}$

ステップ 2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.6

最終解は $2 x (- 2 x + 7) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{7}{2}, - 4$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0, \frac{7}{2}, - 4}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, - \frac{17}{6}) \cup (- \frac{17}{6}, - \frac{25}{14}) \cup (- \frac{25}{14}, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \neq - \frac{25}{14}, - \frac{17}{6}, - \frac{15}{4}}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty), {x | x \neq 0, \frac{7}{2}, - 4}$

値域： $(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, - \frac{17}{6}) \cup (- \frac{17}{6}, - \frac{25}{14}) \cup (- \frac{25}{14}, \infty), {y | y \neq - \frac{25}{14}, - \frac{17}{6}, - \frac{15}{4}}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例