微分積分例

$y = x - \ln (x)$

ステップ 1

$y = x - \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x - \ln (x)$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$1 - \frac{1}{x}$

ステップ 2.3

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{x} + 1$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- \frac{1}{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2.6

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2.7

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.2.8

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

ステップ 3.4.2

$\frac{1}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

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ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 5.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 5.1.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$1 - \frac{1}{x}$

ステップ 5.1.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{x} + 1$ です。

$- \frac{1}{x} + 1$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{x} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{x} = - 1$

ステップ 6.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 6.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, 1$

ステップ 6.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 6.4

$- \frac{1}{x} = - 1$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.4.1

$- \frac{1}{x} = - 1$ の各項に $x$ を掛けます。

$- \frac{1}{x} x = - x$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x} x = - x$

ステップ 6.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x} x = - x$

ステップ 6.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - x$

ステップ 6.5

方程式を解きます。

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ステップ 6.5.1

方程式を $- x = - 1$ として書き換えます。

$- x = - 1$

ステップ 6.5.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.5.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.5.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 1$

ステップ 9

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{1}{{(1)}^{2}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{1}$

ステップ 10.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

ステップ 11

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 12

$x = 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = (1) - \ln (1)$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (1) = 1 - 0$

ステップ 12.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (1) = 1 + 0$

ステップ 12.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (1) = 1$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 13

$f (x) = x - \ln (x)$ の極値です。

$(1, 1)$ は極小値です

ステップ 14

微分積分 例

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