微分積分例

$y = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

ステップ 1

$y = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 2.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 2.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 2.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 2.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

ステップ 2.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.4

総和則では、 $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.2.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.8

公分母の分子をまとめます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.9.2

$2$ から $3$ を引きます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.10

分数の前に負数を移動させます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.12

$\frac{2}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.13

$\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.15

$6$ と $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.16

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.17

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.18

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.18.1

$3$ を $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.18.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.5.18.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 2.6

$\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ です。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

ステップ 2.6.2

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.6.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.6.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.6.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.6.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

ステップ 2.6.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

ステップ 2.6.8

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

ステップ 2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

ステップ 2.7.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 2.7.2.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

ステップ 2.7.3

項を並べ替えます。

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ を ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 4 + 4 \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ とします。

$f'' (x) = - 4 + 4 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.4

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - 1$ とします。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.4.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.5

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.8

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.8.2

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.8.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.10

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.11

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.12.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.12.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.13

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)))) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.15

$\frac{1}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.16

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.18

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.19

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.20

指数を足して ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.20.1

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.20.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.20.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.20.4

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - 4 + 4 (- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.21

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 - 4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.22

$- 4$ と $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 4 + \frac{- 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3.23

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} + 0$

ステップ 3.4.2

$- 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 4 - \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 ((x - 1) (x - 1))]$

ステップ 5.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

ステップ 5.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

ステップ 5.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 5.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 5.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 5.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 5.1.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 5.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - x - x + 1)]$

ステップ 5.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.4

総和則では、 $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5

$\frac{d}{d x} [6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.2.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.8

公分母の分子をまとめます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.9.2

$2$ から $3$ を引きます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.10

分数の前に負数を移動させます。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$6 (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.12

$\frac{2}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$6 (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.13

$\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ に $1$ をかけます。

$6 \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$6 \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.15

$6$ と $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.16

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.17

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.18

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.18.1

$3$ を $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.18.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.5.18.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 5.1.6

$\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} - 2 x + 1)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 (x^{2} - 2 x + 1)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ です。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

ステップ 5.1.6.2

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 5.1.6.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 5.1.6.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 5.1.6.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 5.1.6.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 \cdot 1 + 0)$

ステップ 5.1.6.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2 + 0)$

ステップ 5.1.6.8

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x - 2)$

ステップ 5.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

ステップ 5.1.7.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 5.1.7.2.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} - 4 x + 4$

ステップ 5.1.7.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ です。

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4 = 0$

ステップ 6.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = 0, 2$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}} + 4$

ステップ 7.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- 4 x + \frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}} + 4$

ステップ 7.2

$\frac{4}{\sqrt[3]{x - 1}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

ステップ 7.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.2

簡約します。

$x - 1 = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x - 1 = 0$

ステップ 7.3.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 0, 2, 1$

ステップ 9

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 4 - \frac{4}{3 {((0) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.1

$0$ から $1$ を引きます。

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 10.1.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$- 4 - \frac{4}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 10.1.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 10.1.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 10.1.1.4.2

式を書き換えます。

$- 4 - \frac{4}{3 {(- 1)}^{4}}$

ステップ 10.1.1.5

$- 1$ を $4$ 乗します。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

ステップ 10.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$- 4 - \frac{4}{3}$

ステップ 10.2

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 10.3

$- 4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 10.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

ステップ 10.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 12 - 4}{3}$

ステップ 10.5.2

$- 12$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 16}{3}$

ステップ 10.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16}{3}$

ステップ 11

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 12

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 6 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$0$ から $1$ を引きます。

$f (0) = 6 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

ステップ 12.2.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f (0) = 6 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

ステップ 12.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

ステップ 12.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (0) = 6 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

ステップ 12.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (0) = 6 {(- 1)}^{2} - 2 {((0) - 1)}^{2}$

ステップ 12.2.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (0) = 6 \cdot 1 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

ステップ 12.2.1.6

$6$ に $1$ をかけます。

$f (0) = 6 - 2 {((0) - 1)}^{2}$

ステップ 12.2.1.7

$0$ から $1$ を引きます。

$f (0) = 6 - 2 {(- 1)}^{2}$

ステップ 12.2.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (0) = 6 - 2 \cdot 1$

ステップ 12.2.1.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (0) = 6 - 2$

ステップ 12.2.2

$6$ から $2$ を引きます。

$f (0) = 4$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

ステップ 13

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 4 - \frac{4}{3 {((2) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1.1

$2$ から $1$ を引きます。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 14.1.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 1}$

ステップ 14.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$- 4 - \frac{4}{3}$

ステップ 14.2

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 14.3

$- 4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 14.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

ステップ 14.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 12 - 4}{3}$

ステップ 14.5.2

$- 12$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 16}{3}$

ステップ 14.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16}{3}$

ステップ 15

$x = 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極大値です

ステップ 16

$x = 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 6 {((2) - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$2$ から $1$ を引きます。

$f (2) = 6 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 2 {((2) - 1)}^{2}$

ステップ 16.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (2) = 6 \cdot 1 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

ステップ 16.2.1.3

$6$ に $1$ をかけます。

$f (2) = 6 - 2 {((2) - 1)}^{2}$

ステップ 16.2.1.4

$2$ から $1$ を引きます。

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1^{2}$

ステップ 16.2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f (2) = 6 - 2 \cdot 1$

ステップ 16.2.1.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (2) = 6 - 2$

ステップ 16.2.2

$6$ から $2$ を引きます。

$f (2) = 4$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

ステップ 17

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 4 - \frac{4}{3 {((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 18

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 18.1.2

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 18.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 18.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

共通因数を約分します。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 18.2.2

式を書き換えます。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0^{4}}$

ステップ 18.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 4 - \frac{4}{3 \cdot 0}$

ステップ 18.3.2

$3$ に $0$ をかけます。

$- 4 - \frac{4}{0}$

ステップ 18.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- 4 - \frac{4}{0}$

ステップ 18.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 19

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 19.2

一次導関数 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - 4 \cdot - 2 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 19.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1.1

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{((- 2) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 19.2.2.1.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$f' (- 2) = 8 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 19.2.2.2

$8$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 2) = 12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 19.2.2.3

最終的な答えは $12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$12 + \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 19.3

一次導関数 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ の区間 $(0, 1)$ から $0.5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1

式の変数 $x$ を $0.5$ で置換えます。

$f' (0.5) = - 4 \cdot 0.5 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 19.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.2.1.1

$- 4$ に $0.5$ をかけます。

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{((0.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 19.3.2.1.2

$0.5$ から $1$ を引きます。

$f' (0.5) = - 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 19.3.2.2

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$f' (0.5) = 2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 19.3.2.3

最終的な答えは $2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$2 + \frac{4}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 19.4

一次導関数 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ の区間 $(1, 2)$ から $1.5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.1

式の変数 $x$ を $1.5$ で置換えます。

$f' (1.5) = - 4 \cdot 1.5 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 19.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.2.1.1

$- 4$ に $1.5$ をかけます。

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{((1.5) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 19.4.2.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.2.1.2.1

$1.5$ から $1$ を引きます。

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{{0.5}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 19.4.2.1.2.2

$0.5$ を $\frac{1}{3}$ 乗します。

$f' (1.5) = - 6 + \frac{4}{0.79370052} + 4$

ステップ 19.4.2.1.3

$4$ を $0.79370052$ で割ります。

$f' (1.5) = - 6 + 5.03968419 + 4$

ステップ 19.4.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.2.2.1

$- 6$ と $5.03968419$ をたし算します。

$f' (1.5) = - 0.9603158 + 4$

ステップ 19.4.2.2.2

$- 0.9603158$ と $4$ をたし算します。

$f' (1.5) = 3.03968419$

ステップ 19.4.2.3

最終的な答えは $3.03968419$ です。

$3.03968419$

ステップ 19.5

一次導関数 $- 4 x + \frac{4}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$ の区間 $(2, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = - 4 \cdot 4 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 19.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.5.2.1.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 19.5.2.1.2

$4$ から $1$ を引きます。

$f' (4) = - 16 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}} + 4$

ステップ 19.5.2.2

$- 16$ と $4$ をたし算します。

$f' (4) = - 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 19.5.2.3

最終的な答えは $- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$ です。

$- 12 + \frac{4}{3^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 19.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 19.7

$x = 1$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 1$ は極小値です。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 19.8

$x = 2$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 2$ は極大値です。

$x = 2$ は極大値です

ステップ 19.9

$f (x) = 6 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(x - 1)}^{2}$ の極値です。

$x = 0$ は極大値です

$x = 1$ は極小値です

$x = 2$ は極大値です

$x = 0$ は極大値です

$x = 1$ は極小値です

$x = 2$ は極大値です

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例