微分積分例

$y = \cos (x) + \frac{x}{2}$

ステップ 1

$y = \cos (x) + \frac{x}{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = \cos (x) + \frac{x}{2}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\cos (x) + \frac{x}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \sin (x) + \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} - \sin (x)$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $\frac{1}{2} - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 3.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{1}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

ステップ 3.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

ステップ 3.3

$0$ から $\cos (x)$ を引きます。

$f'' (x) = - \cos (x)$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{1}{2} - \sin (x) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$- \sin (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 6

$- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

ステップ 6.2.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

ステップ 6.3.2

$\frac{1}{2}$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 7

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 8

右辺を簡約します。

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ステップ 8.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 9

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 10

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 10.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 10.2

分数をまとめます。

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ステップ 10.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 10.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 10.3

分子を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 10.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 11

方程式 $x = \frac{π}{6}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

ステップ 12

$x = \frac{π}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 13

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 14

$x = \frac{π}{6}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{6}$ は極大値です

ステップ 15

$x = \frac{π}{6}$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{6}) = \cos (\frac{π}{6}) + \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.2.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 15.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 15.2.1.3

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 15.2.1.3.1

$\frac{π}{6}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6 \cdot 2}$

ステップ 15.2.1.3.2

$6$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$

ステップ 15.2.2

最終的な答えは $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$ です。

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$

ステップ 16

$x = \frac{5 π}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \cos (\frac{5 π}{6})$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 17.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- - \cos (\frac{π}{6})$

ステップ 17.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 17.3

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 17.3.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 18

$x = \frac{5 π}{6}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{5 π}{6}$ は極小値です

ステップ 19

$x = \frac{5 π}{6}$ のときy値を求めます。

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ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $\frac{5 π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{5 π}{6}) + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

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ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \cos (\frac{π}{6}) + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

ステップ 19.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

ステップ 19.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 19.2.1.4

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.4.1

$\frac{5 π}{6}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

ステップ 19.2.1.4.2

$6$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$

ステップ 19.2.2

最終的な答えは $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$ です。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$

ステップ 20

$f (x) = \cos (x) + \frac{x}{2}$ の極値です。

$(\frac{π}{6}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12})$ は極大値です

$(\frac{5 π}{6}, - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12})$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例