微分積分例

$y = 6 - 2 x - x^{2}$

ステップ 1

$y = 6 - 2 x - x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = 6 - 2 x - x^{2}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $6 - 2 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 - (2 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 - 2 x$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2 - 2 x$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$- 2 x - 2$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- 2 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 3.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- 2)$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 2 + 0$

ステップ 3.3.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 2 x - 2 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $6 - 2 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

ステップ 5.1.1.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

ステップ 5.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

ステップ 5.1.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 2 + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 0 - 2 - \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 2 - (2 x)$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 2 - 2 x$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$0$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = - 2 - 2 x$

ステップ 5.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 x - 2$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x - 2$ です。

$- 2 x - 2$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x - 2 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$- 2 x = 2$

ステップ 6.3

$- 2 x = 2$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$- 2 x = 2$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{- 2}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$2$ を $- 2$ で割ります。

$x = - 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = - 1$

ステップ 9

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2$

ステップ 10

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 11

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = 6 - 2 \cdot - 1 - {(- 1)}^{2}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = 6 + 2 - {(- 1)}^{2}$

ステップ 11.2.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.2.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.2.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- 1) = 6 + 2 + (- 1) {(- 1)}^{2}$

ステップ 11.2.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 1) = 6 + 2 + {(- 1)}^{1 + 2}$

ステップ 11.2.1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (- 1) = 6 + 2 + {(- 1)}^{3}$

ステップ 11.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = 6 + 2 - 1$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$6$ と $2$ をたし算します。

$f (- 1) = 8 - 1$

ステップ 11.2.2.2

$8$ から $1$ を引きます。

$f (- 1) = 7$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $7$ です。

$y = 7$

ステップ 12

$f (x) = 6 - 2 x - x^{2}$ の極値です。

$(- 1, 7)$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例