微分積分例

$y = x^{2} e^{x}$

ステップ 1

$y = x^{2} e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} e^{x}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

ステップ 2.4.2

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

ステップ 3.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x e^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 3.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

ステップ 3.3.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

ステップ 3.4.2

$e^{x} (2 x)$ と $2 x e^{x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 3.4.2.2

$2 x e^{x}$ と $2 x e^{x}$ をたし算します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 3.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

ステップ 3.4.4

$e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 5.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 5.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

項を並べ替えます。

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

ステップ 5.1.4.2

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ です。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

ステップ 6.2

$x e^{x}$ を $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$x e^{x}$ を $x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

ステップ 6.2.2

$x e^{x}$ を $2 x e^{x}$ で因数分解します。

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

ステップ 6.2.3

$x e^{x}$ を $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ で因数分解します。

$x e^{x} (x + 2) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 6.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.5

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 6.5.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 6.5.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 6.6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6.7

最終解は $x e^{x} (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 2$

ステップ 9

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

ステップ 10.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

ステップ 10.1.3

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

ステップ 10.1.4

$4$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

ステップ 10.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

ステップ 10.1.6

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 2 e^{0}$

ステップ 10.1.7

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

ステップ 10.1.8

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 2$

ステップ 10.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 10.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 2$

ステップ 10.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

ステップ 11

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 12

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 e^{0}$

ステップ 12.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f (0) = 0 \cdot 1$

ステップ 12.2.3

$0$ に $1$ をかけます。

$f (0) = 0$

ステップ 12.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 13

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 14.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 14.1.3

$4$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 14.1.4

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 14.1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

ステップ 14.1.6

$- 8$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

ステップ 14.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

ステップ 14.1.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

ステップ 14.1.9

$2$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

ステップ 14.2

分数をまとめます。

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ステップ 14.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

ステップ 14.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1

$4$ から $8$ を引きます。

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

ステップ 14.2.2.2

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2}{e^{2}}$

ステップ 14.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{e^{2}}$

ステップ 15

$x = - 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 2$ は極大値です

ステップ 16

$x = - 2$ のときy値を求めます。

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ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

ステップ 16.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

ステップ 16.2.3

$4$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

ステップ 16.2.4

最終的な答えは $\frac{4}{e^{2}}$ です。

$y = \frac{4}{e^{2}}$

ステップ 17

$f (x) = x^{2} e^{x}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極小値です

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ は極大値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例