微分積分例

$y = x^{2}$

ステップ 1

$y = x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2}$

ステップ 2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 \cdot 1$

ステップ 3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 x = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

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ステップ 5.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 x$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x$ です。

$2 x$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 6.2

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 6.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 9

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{2}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0$

ステップ 11.2.2

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$f (x) = x^{2}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例