微分積分例

$y = x^{3} - x^{2}$

ステップ 1

$y = x^{3} - x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} - x^{2}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - (2 x)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 x$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $3 x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 2 \frac{d}{d x} x$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 2 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 2$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 2 x = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

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ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

ステップ 5.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 5.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - (2 x)$

ステップ 5.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 2 x$ です。

$3 x^{2} - 2 x$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 2 x = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 2 x = 0$

ステップ 6.2

$x$ を $3 x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$x (3 x) - 2 x = 0$

ステップ 6.2.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$x (3 x) + x \cdot - 2 = 0$

ステップ 6.2.3

$x$ を $x (3 x) + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$x (3 x - 2) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

ステップ 6.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.5

$3 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.5.1

$3 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 2 = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $3 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 x = 2$

ステップ 6.5.2.2

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.5.2.2.1

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 6.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 6.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 6.6

最終解は $x (3 x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{2}{3}$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 0, \frac{2}{3}$

ステップ 9

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (0) - 2$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

$6$ に $0$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 10.2

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 11

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 12

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

ステップ 12.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 0$

ステップ 12.2.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 12.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 13

$x = \frac{2}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (\frac{2}{3}) - 2$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 14.1

各項を簡約します。

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ステップ 14.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{2}{3} - 2$

ステップ 14.1.1.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{2}{3} - 2$

ステップ 14.1.1.3

式を書き換えます。

$2 \cdot 2 - 2$

ステップ 14.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 - 2$

ステップ 14.2

$4$ から $2$ を引きます。

$2$

ステップ 15

$x = \frac{2}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{2}{3}$ は極小値です

ステップ 16

$x = \frac{2}{3}$ のときy値を求めます。

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ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $\frac{2}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{2}{3}) = {(\frac{2}{3})}^{3} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

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ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{2^{3}}{3^{3}} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

ステップ 16.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3^{3}} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

ステップ 16.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

ステップ 16.2.1.4

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{2^{2}}{3^{2}}$

ステップ 16.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{3^{2}}$

ステップ 16.2.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9}$

ステップ 16.2.2

$- \frac{4}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 16.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 16.2.3.1

$\frac{4}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

ステップ 16.2.3.2

$9$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4 \cdot 3}{27}$

ステップ 16.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 4 \cdot 3}{27}$

ステップ 16.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 16.2.5.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 12}{27}$

ステップ 16.2.5.2

$8$ から $12$ を引きます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 4}{27}$

ステップ 16.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{27}$

ステップ 16.2.7

最終的な答えは $- \frac{4}{27}$ です。

$y = - \frac{4}{27}$

ステップ 17

$f (x) = x^{3} - x^{2}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極大値です

$(\frac{2}{3}, - \frac{4}{27})$ は極小値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例