微分積分例

$y = 3 x^{2} - 10 x - 8$

ステップ 1

$y = 3 x^{2} - 10 x - 8$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 10 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.3.3

$- 10$ に $1$ をかけます。

$6 x - 10 + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$6 x - 10 + 0$

ステップ 2.4.2

$6 x - 10$ と $0$ をたし算します。

$6 x - 10$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $6 x - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 10)$

ステップ 3.2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 10)$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 + 0$

ステップ 3.3.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 x - 10 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

総和則では、 $3 x^{2} - 10 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 5.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 5.1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 6 x - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 5.1.3.3

$- 10$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 x - 10 + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 6 x - 10 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$6 x - 10$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x - 10$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x - 10$ です。

$6 x - 10$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 10 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 10 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$6 x = 10$

ステップ 6.3

$6 x = 10$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$6 x = 10$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{10}{6}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{10}{6}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{10}{6}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$10$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (5)}{6}$

ステップ 6.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{5}{3}$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = \frac{5}{3}$

ステップ 9

$x = \frac{5}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6$

ステップ 10

$x = \frac{5}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{5}{3}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{5}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{5}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{5}{3}) = 3 {(\frac{5}{3})}^{2} - 10 (\frac{5}{3}) - 8$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{5}{3}) = 3 (\frac{5^{2}}{3^{2}}) - 10 (\frac{5}{3}) - 8$

ステップ 11.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{5}{3}) = 3 (\frac{25}{3^{2}}) - 10 (\frac{5}{3}) - 8$

ステップ 11.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{5}{3}) = 3 (\frac{25}{9}) - 10 (\frac{5}{3}) - 8$

ステップ 11.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{5}{3}) = 3 (\frac{25}{3 (3)}) - 10 (\frac{5}{3}) - 8$

ステップ 11.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5}{3}) = 3 (\frac{25}{3 \cdot 3}) - 10 (\frac{5}{3}) - 8$

ステップ 11.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5}{3}) = \frac{25}{3} - 10 (\frac{5}{3}) - 8$

ステップ 11.2.1.5

$- 10 (\frac{5}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.5.1

$- 10$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{5}{3}) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 5}{3} - 8$

ステップ 11.2.1.5.2

$- 10$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{5}{3}) = \frac{25}{3} + \frac{- 50}{3} - 8$

ステップ 11.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{5}{3}) = \frac{25}{3} - \frac{50}{3} - 8$

ステップ 11.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5}{3}) = - 8 + \frac{25 - 50}{3}$

ステップ 11.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.2.1

$25$ から $50$ を引きます。

$f (\frac{5}{3}) = - 8 + \frac{- 25}{3}$

ステップ 11.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{5}{3}) = - 8 - \frac{25}{3}$

ステップ 11.2.3

$- 8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{5}{3}) = - 8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{25}{3}$

ステップ 11.2.4

$- 8$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{5}{3}) = \frac{- 8 \cdot 3}{3} - \frac{25}{3}$

ステップ 11.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5}{3}) = \frac{- 8 \cdot 3 - 25}{3}$

ステップ 11.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.6.1

$- 8$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{5}{3}) = \frac{- 24 - 25}{3}$

ステップ 11.2.6.2

$- 24$ から $25$ を引きます。

$f (\frac{5}{3}) = \frac{- 49}{3}$

ステップ 11.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{5}{3}) = - \frac{49}{3}$

ステップ 11.2.8

最終的な答えは $- \frac{49}{3}$ です。

$y = - \frac{49}{3}$

ステップ 12

$f (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8$ の極値です。

$(\frac{5}{3}, - \frac{49}{3})$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例