微分積分例

$y = e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 1

$y = e^{2 x} - e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $e^{2 x} - e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 2.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 2.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 2.2.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $2 e^{2 x} - e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{2 x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 3.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 3.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 3.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 3.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 3.2.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 3.2.7

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 5.1.1

総和則では、 $e^{2 x} - e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 5.1.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 5.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 5.1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 5.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 5.1.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 5.1.2.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$f' (x) = 2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

ステップ 5.1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 e^{2 x} - e^{x}$ です。

$2 e^{2 x} - e^{x}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 e^{2 x} - e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$2 {(e^{x})}^{2} - e^{x} = 0$

ステップ 6.2.2

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$2 u^{2} - u = 0$

ステップ 6.2.3

$u$ を $2 u^{2} - u$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.3.1

$u$ を $2 u^{2}$ で因数分解します。

$u (2 u) - u = 0$

ステップ 6.2.3.2

$u$ を $- u$ で因数分解します。

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

ステップ 6.2.3.3

$u$ を $u (2 u) + u \cdot - 1$ で因数分解します。

$u (2 u - 1) = 0$

ステップ 6.2.4

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$2 e^{x} - 1 = 0$

ステップ 6.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 6.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 6.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 6.5

$2 e^{x} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.5.1

$2 e^{x} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 e^{x} - 1 = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $2 e^{x} - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 e^{x} = 1$

ステップ 6.5.2.2

$2 e^{x} = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.5.2.2.1

$2 e^{x} = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.5.2.2.2.1.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$e^{x} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.5.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 6.5.2.4

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.4.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 6.5.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 6.5.2.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 6.6

最終解は $e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 9

$x = \ln (\frac{1}{2})$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$4 e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ を簡約します。

$4 e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 10.1.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 10.1.3

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 10.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 10.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 10.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.6.1

共通因数を約分します。

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 10.1.6.2

式を書き換えます。

$1 - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 10.1.7

指数関数と対数関数は逆関数です。

$1 - \frac{1}{2}$

ステップ 10.2

式を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 - 1}{2}$

ステップ 10.2.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 11

$x = \ln (\frac{1}{2})$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \ln (\frac{1}{2})$ は極小値です

ステップ 12

$x = \ln (\frac{1}{2})$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $\ln (\frac{1}{2})$ で置換えます。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ を簡約します。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 12.2.1.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 12.2.1.3

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 12.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 12.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

ステップ 12.2.1.6

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

ステップ 12.2.2

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 12.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 12.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

ステップ 12.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1 - 2}{4}$

ステップ 12.2.5

$1$ から $2$ を引きます。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{- 1}{4}$

ステップ 12.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\ln (\frac{1}{2})) = - \frac{1}{4}$

ステップ 12.2.7

最終的な答えは $- \frac{1}{4}$ です。

$y = - \frac{1}{4}$

ステップ 13

$f (x) = e^{2 x} - e^{x}$ の極値です。

$(\ln (\frac{1}{2}), - \frac{1}{4})$ は極小値です

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例