微分積分例

$u (x) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [100 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$100$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $100 x$ の微分係数は $100 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$100 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$100 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.2.3

$100$ に $1$ をかけます。

$100 + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.3

$40 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $40 y$ の微分係数は $0$ です。

$100 + 0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$100 + 0 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$100 + 0 - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.4.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$100 + 0 - 10 x + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.5

$- 2 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$100 + 0 - 10 x + 0$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

$100$ と $0$ をたし算します。

$100 - 10 x + 0$

ステップ 1.6.1.2

$100 - 10 x$ と $0$ をたし算します。

$100 - 10 x$

ステップ 1.6.2

項を並べ替えます。

$- 10 x + 100$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 10 x + 100$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [100]$ です。

$u'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$u'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$u'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.2.3

$- 10$ に $1$ をかけます。

$u'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (100)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$100$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $100$ の微分係数は $0$ です。

$u'' (x) = - 10 + 0$

ステップ 2.3.2

$- 10$ と $0$ をたし算します。

$u'' (x) = - 10$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 10 x + 100 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [100 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$100$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $100 x$ の微分係数は $100 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$100 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$100 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.2.3

$100$ に $1$ をかけます。

$100 + \frac{d}{d x} [40 y] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.3

$40 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $40 y$ の微分係数は $0$ です。

$100 + 0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$100 + 0 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$100 + 0 - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.4.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$100 + 0 - 10 x + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.5

$- 2 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$100 + 0 - 10 x + 0$

ステップ 4.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1.1

$100$ と $0$ をたし算します。

$100 - 10 x + 0$

ステップ 4.1.6.1.2

$100 - 10 x$ と $0$ をたし算します。

$100 - 10 x$

ステップ 4.1.6.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 10 x + 100$

ステップ 4.2

$x$ に関する $u (x)$ の一次導関数は $- 10 x + 100$ です。

$- 10 x + 100$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 10 x + 100 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 10 x + 100 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $100$ を引きます。

$- 10 x = - 100$

ステップ 5.3

$- 10 x = - 100$ の各項を $- 10$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 10 x = - 100$ の各項を $- 10$ で割ります。

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 100}{- 10}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$- 10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 100}{- 10}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 100}{- 10}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 100$ を $- 10$ で割ります。

$x = 10$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 10$

ステップ 8

$x = 10$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 10$

ステップ 9

$x = 10$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 10$ は極大値です

ステップ 10

$x = 10$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $10$ で置換えます。

$u (10) = 100 (10) + 40 y - 5 {(10)}^{2} - 2 y^{2}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

$100$ に $10$ をかけます。

$u (10) = 1000 + 40 y - 5 {(10)}^{2} - 2 y^{2}$

ステップ 10.2.1.2

$10$ を $2$ 乗します。

$u (10) = 1000 + 40 y - 5 \cdot 100 - 2 y^{2}$

ステップ 10.2.1.3

$- 5$ に $100$ をかけます。

$u (10) = 1000 + 40 y - 500 - 2 y^{2}$

ステップ 10.2.2

$1000$ から $500$ を引きます。

$u (10) = 40 y + 500 - 2 y^{2}$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $40 y + 500 - 2 y^{2}$ です。

$y = 40 y + 500 - 2 y^{2}$

ステップ 11

$u (x) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ の極値です。

$(10, 40 y + 500 - 2 y^{2})$ は極大値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例