微分積分例

$h (x) = x e^{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 1.3.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x e^{x} + e^{x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x e^{x} + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$h'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$h'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$h'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.2.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$h'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$h'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$h'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$h'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

ステップ 2.4.3

$e^{x} x + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$h'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x e^{x} + e^{x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 4.1.3.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $h (x)$ の一次導関数は $x e^{x} + e^{x}$ です。

$x e^{x} + e^{x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x e^{x} + e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x e^{x} + e^{x} = 0$

ステップ 5.2

$e^{x}$ を $x e^{x} + e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$e^{x}$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x + e^{x} = 0$

ステップ 5.2.2

$1$ を掛けます。

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

ステップ 5.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{x} (x + 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 5.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5.6

最終解は $e^{x} (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 1$

ステップ 8

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$(- 1) e^{- 1} + 2 e^{- 1}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 1 \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

ステップ 9.1.2

$- 1 \frac{1}{e}$ を $- \frac{1}{e}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

ステップ 9.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{e} + 2 \frac{1}{e}$

ステップ 9.1.4

$2$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$- \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

ステップ 9.2

分数をまとめます。

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ステップ 9.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 + 2}{e}$

ステップ 9.2.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{e}$

ステップ 10

$x = - 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極小値です

ステップ 11

$x = - 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$h (- 1) = (- 1) \cdot e^{- 1}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$h (- 1) = - 1 \cdot \frac{1}{e}$

ステップ 11.2.2

$- 1 \frac{1}{e}$ を $- \frac{1}{e}$ に書き換えます。

$h (- 1) = - \frac{1}{e}$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{e}$ です。

$y = - \frac{1}{e}$

ステップ 12

$h (x) = x e^{x}$ の極値です。

$(- 1, - \frac{1}{e})$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例