微分積分例

$f (x) = x + \sin (2 x) + 4$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x + \sin (2 x) + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$1 + \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.5

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$1 + 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 2 \cos (2 x) + 0$

ステップ 1.3.2

$1 + 2 \cos (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$1 + 2 \cos (2 x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $1 + 2 \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

ステップ 2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (2 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 2.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

ステップ 2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 2 (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 2.2.7

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - 4 \sin (2 x)$

ステップ 2.3

$0$ から $4 \sin (2 x)$ を引きます。

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$1 + 2 \cos (2 x) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \cos (2 x) = - 1$

ステップ 5

$2 \cos (2 x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2 \cos (2 x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2.1.2

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 6

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 7

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$2 x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 8

$2 x = \frac{2 π}{3}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$2 x = \frac{2 π}{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

ステップ 8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 8.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 8.3.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 9

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 10

$x$ について解きます。

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ステップ 10.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 10.1.2

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 10.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 10.1.4

$3$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 10.1.5

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 10.2

$2 x = \frac{4 π}{3}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$2 x = \frac{4 π}{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

ステップ 10.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

ステップ 10.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

ステップ 10.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.2.1

$2$ を $4 π$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.3.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 11

方程式 $2 x = \frac{2 π}{3}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

ステップ 12

$x = \frac{π}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{3}))$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$- 4 \sin (\frac{2 π}{3})$

ステップ 13.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 4 \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 13.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.4.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.4.3

式を書き換えます。

$- 2 \sqrt{3}$

ステップ 14

$x = \frac{π}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{3}$ は極大値です

ステップ 15

$x = \frac{π}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{3}) = (\frac{π}{3}) + \sin (2 (\frac{π}{3})) + 4$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{2 π}{3}) + 4$

ステップ 15.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{π}{3}) + 4$

ステップ 15.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

ステップ 15.2.2

最終的な答えは $\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$ です。

$y = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

ステップ 16

$x = \frac{2 π}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 4 \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$2 (\frac{2 π}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$2$ と $\frac{2 π}{3}$ をまとめます。

$- 4 \sin (\frac{2 (2 π)}{3})$

ステップ 17.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 4 \sin (\frac{4 π}{3})$

ステップ 17.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

ステップ 17.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 17.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 17.4.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 17.4.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 17.4.4

式を書き換えます。

$- 2 (- \sqrt{3})$

ステップ 17.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \sqrt{3}$

ステップ 18

$x = \frac{2 π}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{2 π}{3}$ は極小値です

ステップ 19

$x = \frac{2 π}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $\frac{2 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3})) + 4$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

$2 (\frac{2 π}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1.1

$2$ と $\frac{2 π}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) + 4$

ステップ 19.2.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (\frac{4 π}{3}) + 4$

ステップ 19.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \sin (\frac{π}{3}) + 4$

ステップ 19.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

ステップ 19.2.2

最終的な答えは $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$ です。

$y = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

ステップ 20

$f (x) = x + \sin (2 x) + 4$ の極値です。

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4)$ は極大値です

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4)$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例