微分積分例

$f (x) = \ln (4 - \ln (x))$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 4 - \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $4 - \ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $4 - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

ステップ 1.2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

ステップ 1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ をたし算します。

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{1}{x})$

ステップ 1.4

$\frac{1}{4 - \ln (x)}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$- \frac{1}{(4 - \ln (x)) x}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{4 x - \ln (x) x}$

ステップ 1.5.2

$x$ を $4 x - \ln (x) x$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.2.1

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$- \frac{1}{x \cdot 4 - \ln (x) x}$

ステップ 1.5.2.2

$x$ を $- \ln (x) x$ で因数分解します。

$- \frac{1}{x \cdot 4 + x (- \ln (x))}$

ステップ 1.5.2.3

$x$ を $x \cdot 4 + x (- \ln (x))$ で因数分解します。

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x (4 - \ln (x))} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ を ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x (4 - \ln (x)))}^{- 1} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x (4 - \ln (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x (4 - \ln (x))$ とします。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x (4 - \ln (x))$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (- {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.4

掛け算します。

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ステップ 2.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 ({(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.4.2

${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.5

$f (x) = x$ および $g (x) = 4 - \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (4 - \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.6

微分します。

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ステップ 2.6.1

総和則では、 $4 - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.6.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.6.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ をたし算します。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (- \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.6.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{d}{d x} \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.7

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{1}{x}) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8

微分します。

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ステップ 2.8.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.8.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8.2.1.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 \cdot 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \cdot 1) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8.4

式を簡約します。

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ステップ 2.8.4.1

$4 - \ln (x)$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + 4 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8.4.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.8.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot 0$

ステップ 2.8.6

式を簡約します。

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ステップ 2.8.6.1

$\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + 0$

ステップ 2.8.6.2

${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$

ステップ 2.9

簡約します。

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ステップ 2.9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{{(x (4 - \ln (x)))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

ステップ 2.9.2

積の法則を $x (4 - \ln (x))$ に当てはめます。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

ステップ 2.9.3

$\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} (3 - \ln (x))$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = (3 - \ln (x)) (\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}})$

ステップ 2.9.4

$3 - \ln (x)$ に $\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3 - \ln (x)}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))} = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例