微分積分 例

総和則では、${\displaystyle x-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^3}}$の${\displaystyle x}$に関する積分は${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{1}{x}]+\frac{d}{dx}\left[\frac{2}{x^3}\right]}$です。

${\displaystyle n=1}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$は${\displaystyle n{x}^{n-1}}$であるというべき乗則を使って微分します。

${\displaystyle f\left(x\right)=-1}$および${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{x}}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$は${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$であるという積の法則を使って微分します。

${\displaystyle \frac{1}{x}}$を${\displaystyle x^{-1}}$に書き換えます。

${\displaystyle n=-1}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$は${\displaystyle n{x}^{n-1}}$であるというべき乗則を使って微分します。

${\displaystyle -1}$は${\displaystyle x}$について定数なので、${\displaystyle x}$について${\displaystyle -1}$の微分係数は${\displaystyle 0}$です。

${\displaystyle -1}$に${\displaystyle -1}$をかけます。

${\displaystyle x^{-2}}$に${\displaystyle 1}$をかけます。

${\displaystyle \frac{1}{x}}$に${\displaystyle 0}$をかけます。

${\displaystyle x^{-2}}$と${\displaystyle 0}$をたし算します。

${\displaystyle 2}$は${\displaystyle x}$に対して定数なので、${\displaystyle x}$に対する${\displaystyle \frac{2}{x^3}}$の微分係数は${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^3}\right]}$です。

${\displaystyle \frac{1}{x^3}}$を${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-1}}$に書き換えます。

${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$および${\displaystyle g\left(x\right)=x^3}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$は${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$であるという連鎖律を使って微分します。

${\displaystyle n=3}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$は${\displaystyle n{x}^{n-1}}$であるというべき乗則を使って微分します。

${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-2}}$の指数を掛けます。

${\displaystyle 3}$に${\displaystyle -1}$をかけます。

指数を足して${\displaystyle x^{-6}}$に${\displaystyle x^2}$を掛けます。

${\displaystyle -3}$に${\displaystyle 2}$をかけます。

項をまとめます。

項を並べ替えます。

${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$を${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-1}}$に書き換えます。

${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$および${\displaystyle g\left(x\right)=x^2}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$は${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$であるという連鎖律を使って微分します。

${\displaystyle n=2}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$は${\displaystyle n{x}^{n-1}}$であるというべき乗則を使って微分します。

${\displaystyle {\left(x^2\right)}^{-2}}$の指数を掛けます。

${\displaystyle 2}$に${\displaystyle -1}$をかけます。

${\displaystyle x}$を${\displaystyle 1}$乗します。

べき乗則${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$を利用して指数を組み合わせます。

${\displaystyle 1}$から${\displaystyle 4}$を引きます。

${\displaystyle -6}$は${\displaystyle x}$に対して定数なので、${\displaystyle x}$に対する${\displaystyle -\frac{6}{x^4}}$の微分係数は${\displaystyle -6\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^4}\right]}$です。

${\displaystyle \frac{1}{x^4}}$を${\displaystyle {\left(x^4\right)}^{-1}}$に書き換えます。

${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$および${\displaystyle g\left(x\right)=x^4}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$は${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$であるという連鎖律を使って微分します。

${\displaystyle n=4}$のとき、${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$は${\displaystyle n{x}^{n-1}}$であるというべき乗則を使って微分します。

${\displaystyle {\left(x^4\right)}^{-2}}$の指数を掛けます。

${\displaystyle 4}$に${\displaystyle -1}$をかけます。

指数を足して${\displaystyle x^{-8}}$に${\displaystyle x^3}$を掛けます。

${\displaystyle -4}$に${\displaystyle -6}$をかけます。

負の指数法則${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$を利用して式を書き換えます。

負の指数法則${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$を利用して式を書き換えます。

項をまとめます。

微分します。

${\displaystyle \frac{d}{dx}[-\frac{1}{x}]}$の値を求めます。

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{2}{x^3}\right]}$の値を求めます。

負の指数法則${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$を利用して式を書き換えます。

負の指数法則${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$を利用して式を書き換えます。

簡約します。

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

Since ${\displaystyle x^2,x^4,1,1}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part ${\displaystyle 1,1,1,1}$ then find LCM for the variable part ${\displaystyle x^2,x^4}$.

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。