微分積分例

$f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x + \frac{32}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{32}{x^{2}}$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$1 + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$1 + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$1 + 32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 1.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 1.2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 1.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 1.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$1 + 32 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

ステップ 1.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 1.2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 1.2.10

$- 2$ に $32$ をかけます。

$1 - 64 x^{- 3}$

ステップ 1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- 64$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

ステップ 1.4.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{64}{x^{3}}$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{64}{x^{3}}$ の微分係数は $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.8

$- 3$ に $- 64$ をかけます。

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$192$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

ステップ 2.4.2.2

$\frac{192}{x^{4}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x + \frac{32}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

ステップ 4.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{32}{x^{2}}$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

ステップ 4.1.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 4.1.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

ステップ 4.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

ステップ 4.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 4.1.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 4.1.2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 4.1.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 4.1.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

ステップ 4.1.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 4.1.2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

ステップ 4.1.2.10

$- 2$ に $32$ をかけます。

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

ステップ 4.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1.1

$- 64$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

ステップ 4.1.4.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

ステップ 4.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ です。

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{64}{x^{3}} = - 1$

ステップ 5.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{3}, 1$

ステップ 5.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{3}$

ステップ 5.4

$- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ の各項に $x^{3}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.4.1

$- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ の各項に $x^{3}$ を掛けます。

$- \frac{64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$- \frac{64}{x^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

ステップ 5.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

ステップ 5.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 64 = - x^{3}$

ステップ 5.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

方程式を $- x^{3} = - 64$ として書き換えます。

$- x^{3} = - 64$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $64$ を足します。

$- x^{3} + 64 = 0$

ステップ 5.5.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

$- 1$ を $- x^{3} + 64$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1

$- 1$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$- (x^{3}) + 64 = 0$

ステップ 5.5.3.1.2

$64$ を $- 1 (- 64)$ に書き換えます。

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 64 = 0$

ステップ 5.5.3.1.3

$- 1$ を $- (x^{3}) - 1 (- 64)$ で因数分解します。

$- (x^{3} - 64) = 0$

ステップ 5.5.3.2

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$- (x^{3} - 4^{3}) = 0$

ステップ 5.5.3.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$- ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

ステップ 5.5.3.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.4.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.4.1.1

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

ステップ 5.5.3.4.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

ステップ 5.5.3.4.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

ステップ 5.5.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

ステップ 5.5.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 5.5.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 5.5.6

$x^{2} + 4 x + 16$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.1

$x^{2} + 4 x + 16$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

ステップ 5.5.6.2

$x$ について $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.5.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 4$ 、および $c = 16$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.3.1.3

$16$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.3.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.3.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.3.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.3.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.5.6.2.3.3

$\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

ステップ 5.5.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.4.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.4.1.3

$16$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.4.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.4.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.4.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.4.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.4.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.5.6.2.4.3

$\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

ステップ 5.5.6.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

ステップ 5.5.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.5.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.5.1.3

$16$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.5.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.5.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.6.2.5.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.5.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.5.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.5.6.2.5.3

$\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

ステップ 5.5.6.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

ステップ 5.5.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

ステップ 5.5.7

最終解は $- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{64}{x^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 4$

ステップ 8

$x = 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{192}{{(4)}^{4}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$4$ を $4$ 乗します。

$\frac{192}{256}$

ステップ 9.2

$192$ と $256$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$64$ を $192$ で因数分解します。

$\frac{64 (3)}{256}$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$64$ を $256$ で因数分解します。

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

ステップ 9.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{4}$

ステップ 10

$x = 4$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 4$ は極小値です

ステップ 11

$x = 4$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = (4) + \frac{32}{{(4)}^{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = 4 + \frac{32}{16}$

ステップ 11.2.1.2

$32$ を $16$ で割ります。

$f (4) = 4 + 2$

ステップ 11.2.2

$4$ と $2$ をたし算します。

$f (4) = 6$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$y = 6$

ステップ 12

$f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$ の極値です。

$(4, 6)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例