微分積分例

$f (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 \sin (x) \cos (x)$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ です。

$9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$9 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$9 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$9 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$9 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 1.8

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

ステップ 1.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

ステップ 1.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

ステップ 1.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

ステップ 1.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

ステップ 1.13

簡約します。

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ステップ 1.13.1

分配則を当てはめます。

$9 (- \sin^{2} (x)) + 9 \cos^{2} (x)$

ステップ 1.13.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$- 9 \sin^{2} (x) + 9 \cos^{2} (x)$

ステップ 1.13.3

$9 \cos^{2} (x)$ を ${(3 \cos (x))}^{2}$ に書き換えます。

$- 9 \sin^{2} (x) + {(3 \cos (x))}^{2}$

ステップ 1.13.4

$9 \sin^{2} (x)$ を ${(3 \sin (x))}^{2}$ に書き換えます。

$- {(3 \sin (x))}^{2} + {(3 \cos (x))}^{2}$

ステップ 1.13.5

$- {(3 \sin (x))}^{2}$ と ${(3 \cos (x))}^{2}$ を並べ替えます。

${(3 \cos (x))}^{2} - {(3 \sin (x))}^{2}$

ステップ 1.13.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 \cos (x)$ であり、 $b = 3 \sin (x)$ です。

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - (3 \sin (x)))$

ステップ 1.13.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

ステップ 1.13.8

分配法則（FOIL法）を使って $(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$ を展開します。

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ステップ 1.13.8.1

分配則を当てはめます。

$3 \cos (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

ステップ 1.13.8.2

分配則を当てはめます。

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

ステップ 1.13.8.3

分配則を当てはめます。

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

ステップ 1.13.9

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.13.9.1

$3 \cos (x) (- 3 \sin (x))$ と $3 \sin (x) (3 \cos (x))$ について因数を並べ替えます。

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) - 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

ステップ 1.13.9.2

$- 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x)$ と $3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 0 + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

ステップ 1.13.9.3

$3 \cos (x) (3 \cos (x))$ と $0$ をたし算します。

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

ステップ 1.13.10

各項を簡約します。

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ステップ 1.13.10.1

$3 \cos (x) (3 \cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 1.13.10.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$9 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

ステップ 1.13.10.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$9 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

ステップ 1.13.10.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

ステップ 1.13.10.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

ステップ 1.13.10.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$9 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

ステップ 1.13.10.2

$3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ を掛けます。

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ステップ 1.13.10.2.1

$- 3$ に $3$ をかけます。

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin (x) \sin (x)$

ステップ 1.13.10.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$9 \cos^{2} (x) - 9 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

ステップ 1.13.10.2.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$9 \cos^{2} (x) - 9 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

ステップ 1.13.10.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 \cos^{2} (x) - 9 {\sin (x)}^{1 + 1}$

ステップ 1.13.10.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 9 \sin^{2} (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 \cos^{2} (x)$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ です。

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (x)$ とします。

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 9 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$f'' (x) = 9 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = 9 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

ステップ 2.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 9 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

ステップ 2.2.5

$- 2$ に $9$ をかけます。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 9 \sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 \sin^{2} (x)$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

ステップ 2.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 \sin (x) \cos (x))$

ステップ 2.3.4

$2$ に $- 9$ をかけます。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 2.4

項をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$- 18 \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2.4.2

$- 18 \cos (x) \sin (x)$ から $18 \cos (x) \sin (x)$ を引きます。

$f'' (x) = - 36 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 4

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$9$ を $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$9$ を $9 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 4.1.2

$9$ を $- 9 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$9 \cos^{2} (x) + 9 (- \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 4.1.3

$9$ を $9 \cos^{2} (x) + 9 (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$9 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 4.2

因数分解。

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ステップ 4.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$9 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

ステップ 4.2.2

不要な括弧を削除します。

$9 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 6

$\cos (x) + \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\cos (x) + \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\cos (x) + \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.4

分数を分解します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 6.2.6

$0$ を $1$ で割ります。

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 6.2.7

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 + \tan (x) = 0$

ステップ 6.2.8

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 6.2.9

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 6.2.10

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.10.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.11

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 6.2.12

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.2.12.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 6.2.12.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 6.2.13

方程式 $x = - \frac{π}{4}$ に対する解です。

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

ステップ 7

$\cos (x) - \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$\cos (x) - \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $\cos (x) - \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.3

分数を分解します。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.5

$- 1$ を $1$ で割ります。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.6

分数を分解します。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 7.2.8

$0$ を $1$ で割ります。

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 7.2.9

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 - \tan (x) = 0$

ステップ 7.2.10

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \tan (x) = - 1$

ステップ 7.2.11

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.11.1

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 7.2.11.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.11.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 7.2.11.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 7.2.11.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.11.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\tan (x) = 1$

ステップ 7.2.12

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 7.2.13

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.13.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.14

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.15

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.15.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.15.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.15.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.15.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 7.2.15.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.15.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 7.2.15.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 7.2.16

方程式 $x = \frac{π}{4}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

ステップ 8

最終解は $9 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

ステップ 9

$x = - \frac{π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 36 \cos (- \frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$- 36 \cos (\frac{7 π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 10.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 36 \cos (\frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 10.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 36 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 10.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$2 (- 18) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 10.4.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 10.4.3

式を書き換えます。

$- 18 \sqrt{2} \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 10.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$- 18 \sqrt{2} \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 10.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 18 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 10.7

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 18 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 10.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.8.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 18 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 10.8.2

$2$ を $- 18 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 10.8.3

共通因数を約分します。

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 10.8.4

式を書き換えます。

$- 9 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 10.9

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

ステップ 10.10

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

ステップ 10.11

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

ステップ 10.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

ステップ 10.13

$1$ と $1$ をたし算します。

$9 {\sqrt{2}}^{2}$

ステップ 10.14

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.14.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 10.14.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 10.14.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 10.14.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.14.4.1

共通因数を約分します。

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 10.14.4.2

式を書き換えます。

$9 \cdot 2^{1}$

ステップ 10.14.5

指数を求めます。

$9 \cdot 2$

ステップ 10.15

$9$ に $2$ をかけます。

$18$

ステップ 11

$x = - \frac{π}{4}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{π}{4}$ は極小値です

ステップ 12

$x = - \frac{π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $- \frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (- \frac{π}{4}) = 9 \sin (- \frac{π}{4}) \cos (- \frac{π}{4})$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$f (- \frac{π}{4}) = 9 \sin (\frac{7 π}{4}) \cos (- \frac{π}{4})$

ステップ 12.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (- \frac{π}{4}) = 9 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (- \frac{π}{4})$

ステップ 12.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (- \frac{π}{4}) = 9 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

ステップ 12.2.4

$9 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{π}{4}) = - 9 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

ステップ 12.2.4.2

$- 9$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

ステップ 12.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

ステップ 12.2.6

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4})$

ステップ 12.2.7

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 12.2.8

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 12.2.9

$- \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.9.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} (9 \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.2.9.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.2.9.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.2.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.2.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.2.9.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

ステップ 12.2.10

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 12.2.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 12.2.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 12.2.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.10.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 12.2.10.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

ステップ 12.2.10.5

指数を求めます。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

ステップ 12.2.11

$9$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{18}{4}$

ステップ 12.2.12

$18$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.12.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 (9)}{4}$

ステップ 12.2.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.12.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.2.12.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.2.12.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9}{2}$

ステップ 12.2.13

最終的な答えは $- \frac{9}{2}$ です。

$y = - \frac{9}{2}$

ステップ 13

$x = \frac{3 π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 36 \cos (\frac{3 π}{4}) \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 36 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 14.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 36 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 14.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 14.3.2

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 14.3.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 14.3.4

式を書き換えます。

$- 18 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 14.4

$- 1$ に $- 18$ をかけます。

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

ステップ 14.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 14.6

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 14.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.7.1

$2$ を $18 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 14.7.2

共通因数を約分します。

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 14.7.3

式を書き換えます。

$9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

ステップ 14.8

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

ステップ 14.9

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

ステップ 14.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

ステップ 14.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$9 {\sqrt{2}}^{2}$

ステップ 14.12

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.12.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 14.12.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 14.12.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 14.12.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.12.4.1

共通因数を約分します。

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 14.12.4.2

式を書き換えます。

$9 \cdot 2^{1}$

ステップ 14.12.5

指数を求めます。

$9 \cdot 2$

ステップ 14.13

$9$ に $2$ をかけます。

$18$

ステップ 15

$x = \frac{3 π}{4}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{4}$ は極小値です

ステップ 16

$x = \frac{3 π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 16.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 16.2.3

$9$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 16.2.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4}))$

ステップ 16.2.5

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 16.2.6

$\frac{9 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.6.1

$\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 16.2.6.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 16.2.6.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 16.2.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 16.2.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 16.2.6.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

ステップ 16.2.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 16.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 16.2.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 16.2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.7.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 16.2.7.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

ステップ 16.2.7.5

指数を求めます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

ステップ 16.2.8

$9$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{18}{4}$

ステップ 16.2.9

$18$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.9.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (9)}{4}$

ステップ 16.2.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.9.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

ステップ 16.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

ステップ 16.2.9.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9}{2}$

ステップ 16.2.10

最終的な答えは $- \frac{9}{2}$ です。

$y = - \frac{9}{2}$

ステップ 17

$x = \frac{π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 36 \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 18

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 36 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 18.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$2 (- 18) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 18.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 18.2.3

式を書き換えます。

$- 18 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 18.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 18.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.4.1

$2$ を $- 18 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 18.4.2

共通因数を約分します。

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 18.4.3

式を書き換えます。

$- 9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

ステップ 18.5

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

ステップ 18.6

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

ステップ 18.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

ステップ 18.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 9 {\sqrt{2}}^{2}$

ステップ 18.9

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 18.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 18.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 18.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.9.4.1

共通因数を約分します。

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 18.9.4.2

式を書き換えます。

$- 9 \cdot 2^{1}$

ステップ 18.9.5

指数を求めます。

$- 9 \cdot 2$

ステップ 18.10

$- 9$ に $2$ をかけます。

$- 18$

ステップ 19

$x = \frac{π}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{4}$ は極大値です

ステップ 20

$x = \frac{π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 9 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{4}) = 9 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.2

$9$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 20.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 20.2.4

$\frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.4.1

$\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 20.2.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 20.2.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 20.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 20.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 20.2.4.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

ステップ 20.2.5

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 20.2.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 20.2.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 20.2.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 20.2.5.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

ステップ 20.2.5.5

指数を求めます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

ステップ 20.2.6

$9$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{18}{4}$

ステップ 20.2.7

$18$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.7.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (9)}{4}$

ステップ 20.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.7.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

ステップ 20.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

ステップ 20.2.7.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9}{2}$

ステップ 20.2.8

最終的な答えは $\frac{9}{2}$ です。

$y = \frac{9}{2}$

ステップ 21

$x = \frac{5 π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 36 \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 22

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- 36 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 22.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 36 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 22.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.3.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 22.3.2

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 22.3.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 22.3.4

式を書き換えます。

$- 18 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 22.4

$- 1$ に $- 18$ をかけます。

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 22.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$18 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 22.6

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$18 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 22.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.7.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$18 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 22.7.2

$2$ を $18 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 22.7.3

共通因数を約分します。

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 22.7.4

式を書き換えます。

$9 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 22.8

$- 1$ に $9$ をかけます。

$- 9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

ステップ 22.9

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

ステップ 22.10

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

ステップ 22.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

ステップ 22.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 9 {\sqrt{2}}^{2}$

ステップ 22.13

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.13.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 22.13.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 22.13.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 22.13.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.13.4.1

共通因数を約分します。

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 22.13.4.2

式を書き換えます。

$- 9 \cdot 2^{1}$

ステップ 22.13.5

指数を求めます。

$- 9 \cdot 2$

ステップ 22.14

$- 9$ に $2$ をかけます。

$- 18$

ステップ 23

$x = \frac{5 π}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{5 π}{4}$ は極大値です

ステップ 24

$x = \frac{5 π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

式の変数 $x$ を $\frac{5 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 24.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 24.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 24.2.3

$9 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.3.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{4}) = - 9 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 24.2.3.2

$- 9$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 24.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 24.2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4}))$

ステップ 24.2.6

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 24.2.7

$- \frac{9 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 (\frac{9 \sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 24.2.7.2

$\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 24.2.7.3

$\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 24.2.7.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 24.2.7.5

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 24.2.7.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 24.2.7.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 24.2.7.8

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

ステップ 24.2.8

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 24.2.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 24.2.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 24.2.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.8.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 24.2.8.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

ステップ 24.2.8.5

指数を求めます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

ステップ 24.2.9

$9$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{18}{4}$

ステップ 24.2.10

$18$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.10.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (9)}{4}$

ステップ 24.2.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.10.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

ステップ 24.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

ステップ 24.2.10.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9}{2}$

ステップ 24.2.11

最終的な答えは $\frac{9}{2}$ です。

$y = \frac{9}{2}$

ステップ 25

$f (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$ の極値です。

$(- \frac{π}{4}, - \frac{9}{2})$ は極小値です

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{9}{2})$ は極小値です

$(\frac{π}{4}, \frac{9}{2})$ は極大値です

$(\frac{5 π}{4}, \frac{9}{2})$ は極大値です

ステップ 26

微分積分 例

微分積分例