微分積分例

$f (x) = x - \frac{1}{x}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x - \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 2.6

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 2.7

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$1 + x^{- 2} + 0$

ステップ 2.8

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$1 + x^{- 2}$

ステップ 3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x^{2}} + 1$

微分積分 例

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