微分積分例

$f (x) = x \sqrt{2 x + 1}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x + 1}$ を ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 1$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14.2

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 2}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14.5

式を書き換えます。

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 16

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 17

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19

指数を足して ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{1}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20

${(2 x + 1)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{x + 2 x + 1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{3 x + 1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例