微分積分例

$f (x) = x {(3 x - 9)}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(3 x - 9)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{3}] + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 3 x - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 9$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 9$ で置き換えます。

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 + 0)) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} \cdot 3) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.6.2

$3$ に $3$ をかけます。

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3} \cdot 1$

ステップ 3.8

${(3 x - 9)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${(3 x - 9)}^{2}$ を $x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

${(3 x - 9)}^{2}$ を $x (9 {(3 x - 9)}^{2})$ で因数分解します。

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{3}$

ステップ 4.1.2

${(3 x - 9)}^{2}$ を ${(3 x - 9)}^{3}$ で因数分解します。

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{2} (3 x - 9)$

ステップ 4.1.3

${(3 x - 9)}^{2}$ を ${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{2} (3 x - 9)$ で因数分解します。

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9) + 3 x - 9)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$9$ を $x$ の左に移動させます。

${(3 x - 9)}^{2} (9 \cdot x + 3 x - 9)$

ステップ 4.2.2

$9 x$ と $3 x$ をたし算します。

${(3 x - 9)}^{2} (12 x - 9)$

微分積分 例

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