微分積分例

$f (x) = x {(x - 15)}^{2}$

ステップ 1

${(x - 15)}^{2}$ を $(x - 15) (x - 15)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x ((x - 15) (x - 15))]$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 15) (x - 15)$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 15) - 15 (x - 15))]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 15 - 15 (x - 15))]$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 15 - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 15 - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

ステップ 3.1.2

$- 15$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 15 \cdot x - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

ステップ 3.1.3

$- 15$ に $- 15$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 15 x - 15 x + 225)]$

ステップ 3.2

$- 15 x$ から $15 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 30 x + 225)]$

ステップ 4

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 30 x + 225$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 30 x + 225] + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $x^{2} - 30 x + 225$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]$ です。

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.3

$- 30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 30 x$ の微分係数は $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (2 x - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.5

$- 30$ に $1$ をかけます。

$x (2 x - 30 + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.6

$225$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $225$ の微分係数は $0$ です。

$x (2 x - 30 + 0) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.7

$2 x - 30$ と $0$ をたし算します。

$x (2 x - 30) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 x - 30) + (x^{2} - 30 x + 225) \cdot 1$

ステップ 5.9

$x^{2} - 30 x + 225$ に $1$ をかけます。

$x (2 x - 30) + x^{2} - 30 x + 225$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$x (2 x) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

ステップ 6.2

項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

ステップ 6.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

ステップ 6.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

ステップ 6.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{2} + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

ステップ 6.2.5

$- 30$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x^{2} - 30 \cdot x + x^{2} - 30 x + 225$

ステップ 6.2.6

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} - 30 x - 30 x + 225$

ステップ 6.2.7

$- 30 x$ から $30 x$ を引きます。

$3 x^{2} - 60 x + 225$

微分積分 例

微分積分例