微分積分例

$f (x) = \sin (\frac{z - 7}{z + 7})$

ステップ 1

$f (z) = \sin (z)$ および $g (z) = \frac{z - 7}{z + 7}$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{z - 7}{z + 7}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{z - 7}{z + 7}$ で置き換えます。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

ステップ 2

$f (z) = z - 7$ および $g (z) = z + 7$ のとき、 $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ は $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \frac{d}{d z} [z - 7] - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $z - 7$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]$ です。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3

$- 7$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + 0) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \cdot 1 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$z + 7$ に $1$ をかけます。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $z + 7$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7]$ です。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 3.7

$7$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + 0)}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 3.8

分数をまとめます。

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ステップ 3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \cdot 1}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 3.8.3

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ と $\frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - (z - 7))}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - z - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$z + 7 - z - - 7$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.1.1

$z$ から $z$ を引きます。

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (0 + 7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

$0$ と $7$ をたし算します。

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 + 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$7$ と $7$ をたし算します。

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \cdot 14}{{(z + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2.4

$14$ を $\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ の左に移動させます。

$\frac{14 \cos (\frac{z - 7}{z + 7})}{{(z + 7)}^{2}}$

微分積分 例

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