微分積分例

$f (x) = \ln (\tan (5 x + 1))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \tan (5 x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (5 x + 1)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (5 x + 1)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\tan (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

ステップ 2

正弦と余弦に関して $\tan (5 x + 1)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

ステップ 3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}$ で割ります。

$\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

ステップ 4

$\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)}$ を $\cot (5 x + 1)$ に変換します。

$\cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

ステップ 5

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 5 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x + 1$ とします。

$\cot (5 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

ステップ 5.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x + 1$ で置き換えます。

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $5 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 6.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 6.4

$5$ に $1$ をかけます。

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 6.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + 0)$

ステップ 6.6

式を簡約します。

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ステップ 6.6.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) \cdot 5$

ステップ 6.6.2

$5$ を $\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ の左に移動させます。

$5 \cdot (\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1))$

ステップ 6.6.3

$5 \cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$5 \sec^{2} (5 x + 1) \cot (5 x + 1)$

微分積分 例

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