微分積分例

$f (x) = \ln (x^{5} - e^{2 x})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{5} - e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{5} - e^{2 x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{5} - e^{2 x}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{5} - e^{2 x}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{5} - e^{2 x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x^{5} - e^{2 x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{5} - e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ です。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

ステップ 2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

ステップ 2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{2 x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]))$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x} \cdot 1)$

ステップ 4.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x})$ の因数を並べ替えます。

$(5 x^{4} - 2 e^{2 x}) \frac{1}{x^{5} - e^{2 x}}$

ステップ 5.2

$5 x^{4} - 2 e^{2 x}$ に $\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}}$ をかけます。

$\frac{5 x^{4} - 2 e^{2 x}}{x^{5} - e^{2 x}}$

微分積分 例

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