微分積分例

$f (x) = \sin (\arccos (x))$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

交点 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (x))$ は $\sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x^{2}}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 8

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

ステップ 13

項を簡約します。

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ステップ 13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

ステップ 13.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 13.3

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14

共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$2$ を $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例