微分積分例

$f (x) = \sin (\tan (2 x))$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (2 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (2 x)$ で置き換えます。

$\cos (\tan (2 x)) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

ステップ 2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\cos (\tan (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$\cos (\tan (2 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos (\tan (2 x)) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

ステップ 3.3.2

$2$ を $\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cdot (\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$2 \cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 \sec^{2} (2 x) \cos (\tan (2 x))$

ステップ 4.2

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \cos (\tan (2 x))$

ステップ 4.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (2 x)}$ に当てはめます。

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \cos (\tan (2 x))$

ステップ 4.4

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cos (\tan (2 x))$

ステップ 4.5

$2$ と $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ をまとめます。

$\frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \cos (\tan (2 x))$

ステップ 4.6

$\frac{2}{\cos^{2} (2 x)}$ と $\cos (\tan (2 x))$ をまとめます。

$\frac{2 \cos (\tan (2 x))}{\cos^{2} (2 x)}$

ステップ 4.7

$\cos (2 x)$ を $\cos^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (\tan (2 x))}{\cos (2 x) \cos (2 x)}$

ステップ 4.8

分数を分解します。

$\frac{2}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (2 x))}{\cos (2 x)}$

ステップ 4.9

$\frac{\cos (\tan (2 x))}{\cos (2 x)}$ を積として書き換えます。

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)})$

ステップ 4.10

$\cos (\tan (2 x))$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\frac{\cos (\tan (2 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

ステップ 4.11

簡約します。

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ステップ 4.11.1

$\cos (\tan (2 x))$ を $1$ で割ります。

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)})$

ステップ 4.11.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

ステップ 4.12

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

ステップ 4.13

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$\frac{2}{1} \sec (2 x) (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

ステップ 4.14

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \sec (2 x) (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

ステップ 4.15

$2 \sec (2 x) (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$ を掛けます。

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ステップ 4.15.1

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \cos (\tan (2 x))$

ステップ 4.15.2

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$2 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \cos (\tan (2 x))$

ステップ 4.15.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (2 x))$

ステップ 4.15.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \sec^{2} (2 x) \cos (\tan (2 x))$

微分積分 例

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