微分積分例

$f (x) = \sin (2 x) - \cos (2 x)$

ステップ 1

総和則では、 $\sin (2 x) - \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

ステップ 2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

ステップ 2.5

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (2 x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$2 \cos (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$2 \cos (2 x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 \cos (2 x) - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \cos (2 x) - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cos (2 x) - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \cos (2 x) - (- \sin (2 x) \cdot 2)$

ステップ 3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos (2 x) - (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 3.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos (2 x) + 2 \sin (2 x)$

微分積分 例

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