微分積分例

$f (x) = \sin (1 - x)$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$\cos (1 - x) \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\cos (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\cos (1 - x) \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (1 - x) (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (1 - x) (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\cos (1 - x) \cdot - 1$

ステップ 2.6.2

$- 1$ を $\cos (1 - x)$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot \cos (1 - x)$

ステップ 2.6.3

$- 1 \cos (1 - x)$ を $- \cos (1 - x)$ に書き換えます。

$- \cos (1 - x)$

微分積分 例