微分積分例

$f (x) = \sin (x + y) - x y$

ステップ 1

総和則では、 $\sin (x + y) - x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.4

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (x + y) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 2.6

$\cos (x + y)$ に $1$ をかけます。

$\cos (x + y) + \frac{d}{d x} [- x y]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (x + y) - y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x + y) - y \cdot 1$

ステップ 3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\cos (x + y) - y$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$- y + \cos (x + y)$

微分積分 例

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