微分積分例

$f (x) = \tan (x) \cdot (\sin (x) + \cos (x))$

ステップ 1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 2

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\tan (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 5

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\cos (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1.1

$\cos (x)$ と $\tan (x)$ を並べ替えます。

$\tan (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.1.2

正弦と余弦に関して $\cos (x) \tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.1.3

共通因数を約分します。

$\sin (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\sin (x) - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.3

$- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.3.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.4

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.5

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.7

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6.4.8

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

ステップ 6.4.9

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

ステップ 6.4.10

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.10.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

ステップ 6.4.10.2

共通因数を約分します。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

ステップ 6.4.10.3

式を書き換えます。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

ステップ 6.4.11

1のすべての数の累乗は1です。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 6.5

公分母の分子をまとめます。

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x) + 1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6.6

$- \sin^{2} (x)$ と $1$ を並べ替えます。

$\sin (x) + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6.8

$\cos^{2} (x)$ と $\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.8.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.8.2.1

$1$ を掛けます。

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6.8.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6.8.2.3

式を書き換えます。

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6.8.2.4

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6.9

各項を簡約します。

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ステップ 6.9.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 6.9.2

分数を分解します。

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 6.9.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

ステップ 6.9.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\sin (x) + \cos (x) + \sec (x) \tan (x)$

微分積分 例

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