微分積分例

$f (x) = \cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$

ステップ 1

総和則では、 $\cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

ステップ 2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{x^{3}}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$- \sin (x) - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x) - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

ステップ 3.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \sin (x) - 3 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

ステップ 3.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- \sin (x) - 3 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

ステップ 3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

ステップ 3.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- \sin (x) - 3 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

ステップ 3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{2 - 6})$

ステップ 3.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 4})$

ステップ 3.8

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$- \sin (x) + 9 x^{- 4}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \sin (x) + 9 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 4.2

$9$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$- \sin (x) + \frac{9}{x^{4}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{9}{x^{4}} - \sin (x)$

微分積分 例

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