微分積分例

$f (x) = \arctan (\frac{x + a}{b})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{x + a}{b}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x + a}{b}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x + a}{b}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{b}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x + a}{b}$ の微分係数は $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} (\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a])$

ステップ 2.2

$\frac{1}{b}$ に $\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \frac{d}{d x} [x + a]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x + a$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ です。

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + \frac{d}{d x} [a])$

ステップ 2.5

$a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + 0)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \cdot 1$

ステップ 2.6.2

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{x + a}{b}$ に当てはめます。

$\frac{1}{b (1 + \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{b \cdot 1 + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$b$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{b + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

ステップ 3.3.2

$b$ と $\frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

ステップ 3.3.3

$b$ と $b^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

$b$ を $b {(x + a)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b^{2}}}$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$b$ を $b^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b \cdot b}}$

ステップ 3.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b \cdot b}}$

ステップ 3.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{b + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

ステップ 3.3.4

$b$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{b}{b}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{b \cdot b}{b} + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

ステップ 3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{b \cdot b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

ステップ 3.3.6

$b$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{b^{1} b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

ステップ 3.3.7

$b$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{b^{1} b^{1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

ステップ 3.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\frac{b^{1 + 1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

ステップ 3.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

ステップ 3.3.10

分数の逆数を掛け、 $\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}$ で割ります。

$1 \frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

ステップ 3.3.11

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

微分積分 例

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