微分積分例

$f (x) = \ln (1 - x^{2})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 - x^{2}} (- (2 x))$

ステップ 2.6

分数をまとめます。

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ステップ 2.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{1 - x^{2}} (- 2 x)$

ステップ 2.6.2

$- 2$ と $\frac{1}{1 - x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{1 - x^{2}} x$

ステップ 2.6.3

$\frac{- 2}{1 - x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{1 - x^{2}}$

ステップ 2.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{1 - x^{2}}$

微分積分 例