微分積分例

$f (x) = \ln (5 x^{2} - 4 x + 1)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 5 x^{2} - 4 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{2} - 4 x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x + 1]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x + 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{2} - 4 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 4 x + 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{2} - 4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.4

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.5

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.7

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4 + 0)$

ステップ 2.9

$10 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1} (10 x - 4)$ の因数を並べ替えます。

$(10 x - 4) \frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 3.2

$10 x - 4$ に $\frac{1}{5 x^{2} - 4 x + 1}$ をかけます。

$\frac{10 x - 4}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 3.3

$2$ を $10 x - 4$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$2$ を $10 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 x) - 4}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 3.3.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 x) + 2 (- 2)}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 3.3.3

$2$ を $2 (5 x) + 2 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 x - 2)}{5 x^{2} - 4 x + 1}$

微分積分 例

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