微分積分例

$g (x) = {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} \ln (x)$

ステップ 1

$f (x) = {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 3

${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}]$

ステップ 4

$f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ および $g (x) = 33 x + 31$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $33 x + 31$ とします。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

ステップ 4.2

$n = \frac{4}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $33 x + 31$ で置き換えます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

ステップ 8.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

$\frac{4}{3}$ と ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

ステップ 9.2

$\frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} \frac{d}{d x} [33 x + 31]$

ステップ 10

総和則では、 $33 x + 31$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [31]$ です。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (\frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [31])$

ステップ 11

$33$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $33 x$ の微分係数は $33 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [31])$

ステップ 12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [31])$

ステップ 13

$33$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 + \frac{d}{d x} [31])$

ステップ 14

$31$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $31$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 + 0)$

ステップ 15

項を簡約します。

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ステップ 15.1

$33$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} \cdot 33$

ステップ 15.2

$\frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3}$ と $33$ をまとめます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) \cdot 33}{3}$

ステップ 15.3

$33$ に $4$ をかけます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{132 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3}$

ステップ 15.4

$3$ を $132 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{3 (44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x))}{3}$

ステップ 16

共通因数を約分します。

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ステップ 16.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{3 (44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x))}{3 (1)}$

ステップ 16.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{3 (44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x))}{3 \cdot 1}$

ステップ 16.3

式を書き換えます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{1}$

ステップ 16.4

$44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$

ステップ 17

$44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) x}{x}$

ステップ 18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) x}{x}$

ステップ 19

分子を簡約します。

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ステップ 19.1

${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ を ${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) x$ で因数分解します。

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ステップ 19.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 19.1.1.1

$\ln (x)$ を移動させます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} x \ln (x)}{x}$

ステップ 19.1.1.2

${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 x {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{x}$

ステップ 19.1.2

${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ を ${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} {(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + 44 x {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{x}$

ステップ 19.1.3

${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ を $44 x {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} {(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (44 x \ln (x))}{x}$

ステップ 19.1.4

${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ を ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} {(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (44 x \ln (x))$ で因数分解します。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} ({(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + 44 x \ln (x))}{x}$

ステップ 19.2

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} ({(33 x + 31)}^{1} + 44 x \ln (x))}{x}$

ステップ 19.3

簡約します。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (33 x + 31 + 44 x \ln (x))}{x}$

ステップ 19.4

対数の中の $44$ を移動させて $44 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (33 x + 31 + x \ln (x^{44}))}{x}$

微分積分 例

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