微分積分例

$g (x) = e^{x} \ln (x^{3})$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \ln (x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$e^{x} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{3}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x}}{x^{3}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3$ と $\frac{e^{x}}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{3 e^{x}}{x^{3}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.3.2

$\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 e^{x} x^{2}}{x^{3}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.3.3

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

$x^{2}$ を $3 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (3 e^{x})}{x^{3}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (3 e^{x})}{x^{2} x} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (3 e^{x})}{x^{2} x} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 e^{x}}{x} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{3 e^{x}}{x} + \ln (x^{3}) e^{x}$

ステップ 5

項を並べ替えます。

$e^{x} \ln (x^{3}) + \frac{3 e^{x}}{x}$

微分積分 例

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