微分積分例

$h (x) = {(x^{4} - 1)}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{4} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} - 1$ で置き換えます。

$3 {(x^{4} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{4} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$3 {(x^{4} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x^{4} - 1)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(x^{4} - 1)}^{2} (4 x^{3} + 0)$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$3 {(x^{4} - 1)}^{2} (4 x^{3})$

ステップ 2.4.2

$4$ に $3$ をかけます。

$12 {(x^{4} - 1)}^{2} x^{3}$

ステップ 2.4.3

$12 {(x^{4} - 1)}^{2} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$12 x^{3} {(x^{4} - 1)}^{2}$

微分積分 例