微分積分例

$h (t) = t^{2} {(3 t + 4)}^{3}$

ステップ 1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = {(3 t + 4)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t + 4)}^{3}] + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = 3 t + 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 t + 4$ とします。

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3 t + 4$ で置き換えます。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $3 t + 4$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4]$ です。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.5

$4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + 0)) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \cdot 3) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.6.2

$3$ に $3$ をかけます。

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} (2 t)$

ステップ 3.8

$2$ を ${(3 t + 4)}^{3}$ の左に移動させます。

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 \cdot {(3 t + 4)}^{3} t$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$t {(3 t + 4)}^{2}$ を $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$t {(3 t + 4)}^{2}$ を $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2})$ で因数分解します。

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$

ステップ 4.1.2

$t {(3 t + 4)}^{2}$ を $2 {(3 t + 4)}^{3} t$ で因数分解します。

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$

ステップ 4.1.3

$t {(3 t + 4)}^{2}$ を $t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$ で因数分解します。

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9) + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.2

$9$ を $t$ の左に移動させます。

$t {(3 t + 4)}^{2} (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.3

${(3 t + 4)}^{2}$ を $(3 t + 4) (3 t + 4)$ に書き換えます。

$t ((3 t + 4) (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(3 t + 4) (3 t + 4)$ を展開します。

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ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$t (3 t (3 t + 4) + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.4.2

分配則を当てはめます。

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.4.3

分配則を当てはめます。

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$t (3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.5.1.2

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.2.1

$t$ を移動させます。

$t (3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.5.1.2.2

$t$ に $t$ をかけます。

$t (3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.5.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$t (9 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.5.1.4

$4$ に $3$ をかけます。

$t (9 t^{2} + 12 t + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.5.1.5

$3$ に $4$ をかけます。

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.5.1.6

$4$ に $4$ をかけます。

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.5.2

$12 t$ と $12 t$ をたし算します。

$t (9 t^{2} + 24 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.6

分配則を当てはめます。

$(t (9 t^{2}) + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$(9 t \cdot t^{2} + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.7.3

$16$ を $t$ の左に移動させます。

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.1

$t^{2}$ を移動させます。

$(9 (t^{2} t) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.8.1.2

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$(9 (t^{2} t^{1}) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(9 t^{2 + 1} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.8.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$(9 t^{3} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.8.2

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.1

$t$ を移動させます。

$(9 t^{3} + 24 (t \cdot t) + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.8.2.2

$t$ に $t$ をかけます。

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

ステップ 4.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

分配則を当てはめます。

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t) + 2 \cdot 4)$

ステップ 4.9.2

$3$ に $2$ をかけます。

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 2 \cdot 4)$

ステップ 4.9.3

$2$ に $4$ をかけます。

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 8)$

ステップ 4.10

$9 t$ と $6 t$ をたし算します。

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$

ステップ 4.11

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$ を展開します。

$9 t^{3} (15 t) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$9 \cdot 15 t^{3} t + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.2

指数を足して $t^{3}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.2.1

$t$ を移動させます。

$9 \cdot 15 (t \cdot t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.2.2

$t$ に $t^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.2.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$9 \cdot 15 (t^{1} t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 \cdot 15 t^{1 + 3} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.2.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$9 \cdot 15 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.3

$9$ に $15$ をかけます。

$135 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.4

$8$ に $9$ をかけます。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{2} t + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.6

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.6.1

$t$ を移動させます。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t \cdot t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.6.2

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.6.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t^{1} t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{1 + 2} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.7

$24$ に $15$ をかけます。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.8

$8$ に $24$ をかけます。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t \cdot t + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.10

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.10.1

$t$ を移動させます。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 (t \cdot t) + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.10.2

$t$ に $t$ をかけます。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t^{2} + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.11

$16$ に $15$ をかけます。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 16 t \cdot 8$

ステップ 4.12.12

$8$ に $16$ をかけます。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

ステップ 4.13

$72 t^{3}$ と $360 t^{3}$ をたし算します。

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

ステップ 4.14

$192 t^{2}$ と $240 t^{2}$ をたし算します。

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 432 t^{2} + 128 t$

微分積分 例

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