微分積分例

$f (x) = 3 \sin (x^{2}) - 2 \cos (3 x)$

ステップ 1

総和則では、 $3 \sin (x^{2}) - 2 \cos (3 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin (x^{2})$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

ステップ 2.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$3 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$3 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

ステップ 2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$6 \cos (x^{2}) x + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos (3 x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ です。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

ステップ 3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

ステップ 3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- 3 \sin (3 x))$

ステップ 3.7

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$6 \cos (x^{2}) x + 6 \sin (3 x)$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$6 x \cos (x^{2}) + 6 \sin (3 x)$

微分積分 例

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