微分積分例

$f (x) = - 3 \cos (5 x^{3} + 7 x)$

ステップ 1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \cos (5 x^{3} + 7 x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (5 x^{3} + 7 x)]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (5 x^{3} + 7 x)]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 5 x^{3} + 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{3} + 7 x$ とします。

$- 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 7 x])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 7 x])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{3} + 7 x$ で置き換えます。

$- 3 (- \sin (5 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 7 x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$3 (\sin (5 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 7 x])$

ステップ 3.2

総和則では、 $5 x^{3} + 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ です。

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

ステップ 3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

ステップ 3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x])$

ステップ 3.5

$3$ に $5$ をかけます。

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x])$

ステップ 3.6

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (15 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (15 x^{2} + 7 \cdot 1)$

ステップ 3.8

$7$ に $1$ をかけます。

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (15 x^{2} + 7)$

微分積分 例